Valor esperado de la inversa de una variable aleatoria

Question

Mi problema es el siguiente:

Tengo un punto $A$ y un círculo con centro $B$ y radio $R$ . Puntos $A$ y $B$ son fijos, también $A$ está fuera del círculo. Un punto aleatorio $C$ se elige con distribución uniforme en el área del disco $B$ . Mi pregunta es cómo calcular el valor esperado de $AC^{-4}$ . Estoy trabajando con la pérdida de trayectoria en la comunicación inalámbrica por lo que $AC^{-4}$ mide cuánta energía se disipa a lo largo de la distancia $AC$

Mi enfoque consiste en denotar primero $\theta$ como el ángulo entre AB y BC entonces $\theta$ se distribuye uniformemente entre $[0,2\pi]$ . Denotemos $r$ como la distancia de BC entonces la distribución de $r$ en $[0,R]$ es $\frac{2r}{R^2}$ . Utilizando la fórmula $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\times BC \times \cos\theta$ Tengo

\begin{align} E[AC^{-4}] & = \int_0^{2\pi}\int_0^R (AB^2 + BC^2 - 2AB\times BC \times \cos\theta)^{-2} f_\theta f_r \, dr \, d\theta \\ & = \int_0^{2\pi}\int_0^R (AB^2 + r^2 - 2AB\times r \times \cos\theta)^{-2} \frac{1}{2\pi} \frac{2r}{R^2} \, dr \, d\theta \end{align}

Sin embargo, no consigo resolver esta integración. Quiero preguntar si alguien conoce algún método que me pueda dar la forma cerrada del valor esperado anterior. Si no, entonces tal vez un método de aproximación que puede dar una forma cerrada también es bueno. Gracias de antemano.

Answer 1

He introducido tu fórmula en Wolfram Alpha para calcular integrales indefinidas. Para abreviar, escribí $x$ para $AB$ .

En primer lugar la integral indefinida sobre $\theta$ :

$$ \int(x^2+r^2-2xr\cos\theta)^{-2}\;\mathrm d\theta = f_1(r,\theta)+f_2(r,\theta)+\text{const.}\\ f_1(r,\theta)= \frac{2 (r^2+x^2)}{(r^2-x^2)^3}\arctan\frac{(r+x) \tan\frac\theta2}{r-x} \\ f_2(r,\theta)= \frac{2 r x \sin\theta (r^2-2 r x \cos\theta+x^2)}{(r-x)^2 (r+x)^2} $$

Desde $f_2$ tiene el mismo valor en sus límites de integración, es decir $f_2(0,r)=f_2(2\pi,r)$ estos dos se anulan. Por lo tanto $f_2$ es irrelevante para la integral definida. $f_1$ es una cuestión diferente, ya que $\arctan$ es una función multivaluada, por lo que hay que tener en cuenta en qué rama nos encontramos. Usted tiene una singularidad extraíble siempre que $\theta=(2k+1)\pi$ para algunos $k\in\mathbb Z$ .

Así que considere el valor de

$$\arctan\left(\frac{r+x}{r-x}\tan\frac\theta2\right)$$

mientras te mueves $\theta$ de $0$ a $2\pi$ . El valor al principio y al final será cero (mod $\pi$ ), pero entre medias el valor del $\tan$ pasará exactamente una vez por el infinito, indicando exactamente un cambio en una rama vecina del $\arctan$ . Así que el valor será $\pm\pi$ . El factor $\frac{r+x}{r-x}$ tiene casi no influye en esto, ya que no afecta al valor inicial o final de cero, y ya que tampoco afecta al número de conmutadores de rama. Sin embargo, sí determina el signo: $r<x$ y por lo tanto $r-x<0$ por lo que es un factor negativo. Así que toda la expresión se moverá continuamente (excepto la singularidad extraíble) de $0$ a $-\pi$ y por tanto su valor en la integral definida es $-\pi$ .

Siguiente desea integrar el $r$ -parte dependiente de $f_1$ y tomar el factor de densidad de $r$ en cuenta:

$$ \int\frac{2 (r^2+x^2)}{(r^2-x^2)^3}\;r\,\mathrm dr = -\frac{r^2}{(r^2-x^2)^2}+\text{const.} $$

Si enchufa $0$ y $R$ en esto y restar, se obtiene

$$ -\frac{R^2}{(R^2-x^2)^2} +\frac{0^2}{(0^2-x^2)^2} = -\frac{R^2}{(R^2-x^2)^2} $$

Ahora veamos todas esas constantes que he omitido por el camino. Usted escribió $\frac{1}{2\pi}\frac{2r}{R^2}$ . En $r$ Incluí con mi segunda integral. El $2$ cancela ya en sus términos. El $\pi$ se anula con el $-\pi$ de $f_1(2\pi,r)-f_1(0,r)$ excepto por el cartel. Así que todo lo que queda es una división por $-R^2$ lo que hace que la integral total sea igual a

$$(R^2-x^2)^{-2}$$

Una rápida simulación de Monte-Carlo muestra que este valor parece razonablemente cercano a lo creíble.

Answer 2

Inicialmente elegimos coordenadas cartesianas para evitar problemas con una densidad no uniforme en el disco y, a continuación, calculamos la integral utilizando una transformación adecuada. Sea $B = (0,0)$ y sin pérdida de generalidad, supongamos $A = (a,0)$ con $a > R > 0$ . Además $C = (x,y)$ tal que $x^2 + y^2 \le R^2$ . Entonces $$(AC)^{-4} = ((x-a)^2 + y^2)^{-2}$$ y el valor esperado resultante viene dado por la integral doble sobre el disco de radio $R$ $$\frac{1}{\pi R^2} \iint_R ((x-a)^2 + y^2)^{-2} \, dx \, dy.$$ Entonces con la transformación de coordenadas $$(x,y) = (r \cos \theta, r \sin \theta),$$ con $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ lo anterior se convierte en $$\frac{1}{\pi R^2} \int_{\theta = 0}^{2\pi} \int_{r = 0}^R ((r \cos\theta - a)^2 + (r \sin\theta)^2)^{-2} r \, dr \, d\theta = \frac{1}{(a^2-R^2)^2},$$ según Mathematica . En este momento, no tengo una evaluación paso a paso del integrando dado.