El máximo común divisor de $a$ y $b$ es una combinación lineal de $a$ y $b$ . En general, ¿en qué tipo de anillo se cumple esto?

Question

En $\mathbb{Z}$ el máximo común divisor de $a$ y $b$ es una combinación lineal de $a$ y $b$ .

Esto se generaliza a los dominios euclidianos ya que el algoritmo de Euclides funciona. Además, esta afirmación se generaliza a los EPI, ya que si los ideales $(c)=(a)+(b)$ entonces $c$ es una combinación lineal de $a$ y $b$ y $c$ es el gcd de $a$ y $b$ .

Mi pregunta es: ¿hasta qué punto podemos generalizar la afirmación anterior? En la clasificación convencional de anillos conmutativos con unidad, ¿cuál es la mejor generalización?

Answer 1

Anillos en los que cada ideal generado por dos es principal $\rm\:(a,b) = (c)\:$ se llaman Anillos Bezout, ya que son precisamente los anillos donde existen gcds y tienen forma lineal (Bezout). Supongamos que $\rm\:(a,b) = (c).\:$ Entonces $\rm\:(c)\supseteq (a),(b)\:\Rightarrow\: c\mid a,b,\:$ así que $\rm\:c\:$ es un divisor común de $\rm\:a,b.\:$ Por el contrario $\rm\:(a,b)\supseteq (c)\:\Rightarrow\: c = ja + k b\:$ así que $\rm\:d\mid a,b\:\Rightarrow\:d\mid c,\:$ así que $\rm\:c\:$ es un mayor divisor común (mayor en términos de orden de divisibilidad).

Los dominios Bezout se sitúan entre los PID y los dominios GCD en la siguiente lista de dominios estrechamente relacionados con los dominios GCD.

$\qquad\qquad$

PID: $\ \ $ todo ideal es principal

Bezout: $\ \ $ todo ideal (a,b) es principal

GCD: $\ \ $ (x,y) := gcd(x,y) existe para todo x,y

SCH: $\ \ $ Schreier = pre-Schreier & integralmente cerrado

SCH0: $\ \ $ pre-Schreier: a|bc $\, \Rightarrow\, $ a = BC, B|b, C|c

D: $\ \ $ (a,b) = 1 & a|bc $\,\Rightarrow\,$ a|c

PP: $\ \ $ (a,b) = (a,c) = 1 $\,\Rightarrow\,$ (a,bc) = 1

GL: $\ \ $ Lemma de Gauss: el producto de polos primitivos es primitivo

GL2: $\ \ $ El lema de Gauss es válido para todos los polos de grado 1

AP: $\ \ $ los átomos son primos [es decir, PP restringido al átomo a].

Desde atomic & AP $\,\Rightarrow\,$ UFD, invirtiendo el UFD anterior $\,\Rightarrow\,$ La trayectoria AP muestra que en los dominios atómicos todas estas propiedades (excepto PID, Bezout) colapsan, haciéndose todas equivalentes a UFD.

También se conocen muchas propiedades equivalentes a D, por ejemplo

[a] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ a|bc $\,\Rightarrow\,$ a|c

[b] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ a,b|c $\,\Rightarrow\,$ ab|c

[c] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ (a)/\(b) = (ab)

[d] $\ \ $ (a,b) existe $\,\Rightarrow\,$ lcm(a,b) existe

[e] $\ \ $ a + b X irreducible $\,\Rightarrow\,$ primo para b $\ne$ 0 (deg = 1)

Answer 2

Creo que está buscando Dominio de Bézout un concepto bien conocido en la teoría de anillos, que generaliza la noción de anillos ideales principales.

Answer 3

Creo que la pregunta es: ¿Cuáles son los anillos $R$ en la que d=GCD(a,b) implica dR=(a,b)?

Por la definición del GCD sabemos que si d = GCD(a,b) entonces a=rd y b=sd y por tanto d=GCD(rd,sd) lo que lleva a 1=GCD(r,s) si d es un divisor no nulo. Restringiendo a anillos sin divisores cero y específicamente a dominios integrales vemos que en un dominio D, d=GCD(a,b) implica dR=(a,b) si y sólo si en D, 1=GCD(x,y) implica R=(x,y). Los dominios en los que 1=GCD(x,y) implica R=(x,y) fueron llamados dominios pre-Bezout por Cohn en [C].

Obviamente, un dominio Bezout es un dominio pre-Bezout, pero un dominio pre-Bezout dista mucho de ser Bezout. He aquí un ejemplo sencillo: Sea V un dominio de valoración discreto de rango 1, con ideal máximo M=pV, y sea L un campo que contiene el campo cociente de V propiamente dicho y consideremos R=V+XL[[X]] el anillo de series de potencias f en L[[X]] tales que f(0) está en V. Es fácil ver que R es un dominio cuasi local tal que un elemento f en R es una unidad si y sólo si f(0)=1 si y sólo si f no es divisible por ninguna potencia positiva de p. Afirmamos que R es pre-Bezout. Porque si f y g en R son tales que GCD(f,g)=1 entonces o f no es divisible por p o g lo es. Pero entonces f es una unidad o g lo es y en cualquier caso (f,g)=R.

Ahora en algunos casos pre-Bezout es tan potente como Bezout. Recordemos que un dominio Bezout noetheriano es un PID, se demostró en [MZ] que un dominio pre-Bezout noetheriano es un PID (el Corolario 6.6 de [MZ] trata de dominios atómicos más generales.) . Un caso especial de dominio pre-Bezout se estudia como dominio GCD-Bezout en [PT]. (D es GCD-Bezout si d=GCD(a,a,...,a_{n}) implica que dD=(a,a,...,a_{n})). En [PT] se afirma que un dominio noetheriano GCD-Bezout es un PID.

• [C] P.M. Cohn, Bezout rings and their subbrings, Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968) 251-264.
• [PT] M.H. Park y F. Tartarone, Divisibility properties related to star-operations on integral domains. Int. Electron. J. Algebra 12 (2012), 53--74.
• [MZ] J.L. Mott y M. Zafrullah, On Prufer v-multiplication domains, manuscripta math. 35(1-2) (1981) 1- 26.