Demostrar que $f(x) = \frac{1}{2}$ en todas partes.

Question

Ejercicio:

Dejemos que $f(x)$ sea continua para $0 \leq x \leq 1$ . Supongamos además que $f(x)$ asume sólo valores racionales y que $f(x) = \frac{1}{2}$ cuando $x = \frac{1}{2}$ . Demostrar que $f(x) = \frac{1}{2}$ en todas partes.

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Intento:

Supongamos que $f(\frac{1}{2} + \delta_1) = p \neq \frac{1}{2}$ es racional.

Hay un número irracional $q$ que está entre $\frac{1}{2}$ y $p$ .

Para $f$ para ser continua, debe haber una $f(\frac{1}{2} + \delta_2) = q$ donde $\delta_2<\delta_1$ .

Pero, por $f$ La definición de la empresa, no contiene números irracionales.

Entonces, la única otra opción es que $f(\frac{1}{2} + \delta_1) = \frac{1}{2}$ .

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Solicitud:

¿Es correcta mi prueba? Si no, ¿dónde y por qué me he equivocado?

Answer 1

¿Por qué dices que $\delta_1<\delta_2$ .

aquí hay otro enfoque.

$f$ es continua en $[0,1]$ así $f([0,1])$ es un intervalo.

pero $f([0,1]) \subset \Bbb Q$ así que la única posibilidad es $f([0,1])=\{\frac{1}{2}\}$ .