Pregunta acerca de la prueba de que una expresión algebraica entero es una unidad si y sólo si tiene norma $\pm 1$.

Question

Deje $K/\mathbb{Q}$ ser un campo de número y deje $\mathcal{O}_K$ ser su anillo de enteros. Tengo una pregunta acerca de la prueba de que $\mathcal{O}_K^\times =\{\alpha\in \mathcal{O}_K\mid N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm1 \}$. Entiendo que si $\alpha \in \mathcal{O}_K^\times$$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm1$, pero el contrario es donde estoy atascado. La prueba de que estoy siguiendo (Neukirch `la Teoría Algebraica de números', en la página 12) sostiene que si $N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)= \pm1$ $aN_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=1$ algunos $a\in \{\pm1\}$, de donde $$ 1=aN_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=a\prod_{\sigma:K\rightarrow\overline{ \mathbb{Q}}}\sigma\alpha=\alpha\prod_{\sigma\neq 1}\sigma\alpha=\alpha\beta $$ para algunos $\beta\in \mathcal{O}_K$. Así que en este caso, $\beta= a\prod_{\sigma\neq 1}\sigma\alpha$. Aquí está mi problema:

¿Cómo podemos saber que $\prod_{\sigma\neq 1}\sigma\alpha$$\mathcal{O}_K$?

Entiendo que todos los conjugados $\sigma\alpha$ $\alpha$ integral $\Bbb{Z}$, pero esto no significa, a priori, significa que cada uno de conjugar $\sigma\alpha$ se encuentra en $\mathcal{O}_K:=\{x\in K\mid \text{$x$ integral over $\Bbb{Z}$}\}$ desde cada una de las $\sigma \alpha$ no puede ser en $K$ sí.

Por ejemplo, si $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, entonces sabemos $\mathcal{O}_K=\Bbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$. Los conjugados de, digamos, $\alpha=\sqrt[3]{2}$ $$\sqrt[3]{2},\,\, \zeta\sqrt[3]{2},\,\,\zeta^2\sqrt[3]{2},$$ where $\zeta$ is a primitive third root of unity. So in this case $\sigma\alpha\noen \mathcal{S}_K=\Bbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ for $\sigma\neq 1$, even though $\prod_{\sigma\neq 1}\sigma\alpha=\sqrt[3]{4}\in \mathcal{S}_K$.

Answer 1

El producto $\prod_{\sigma\neq 1}\sigma\alpha$ se encuentra en $K$ porque es $N(\alpha)/\alpha$. Es una expresión algebraica entero porque cada una de las $\sigma\alpha \in \overline{\mathbb Z}$.

Llegamos a la conclusión de usar $\overline{\mathbb Z} \cap K = \mathcal O_K$, por definición de la integral de cierre.

Answer 2

Considerar el cierre de Galois $K'$$K/\Bbb Q$.

El elemento $u := \prod_{\sigma\neq 1}\sigma(\alpha)$ es invariante bajo cualquier incrustación $\tau : K' \to \overline{\Bbb Q}$ fijación $K$ (es decir, cualquier elemento del grupo de Galois de $K' / K$), ya que $\alpha u = \mathrm{N}_{K / \Bbb Q}(\alpha) \in \Bbb Q$$\alpha \in K$. Por lo tanto $u$ debe estar en $K$, por la teoría de Galois.

Dado que todos los elementos $\sigma(\alpha)$ integral $\Bbb Z$, como se señaló, esto implica que $u$ integral $\Bbb Z$. Finalmente, esto significa que $u \in \mathcal O_K$.

Answer 3

Otra manera de mirar la misma cosa: Si usted reconoce que $\text{Norm}^{\Bbb Q(\alpha)}_{\Bbb Q}(\alpha)$ es decir, hasta el signo, el coeficiente constante de $\alpha$'s mínimo polinomio $\text{Irr}(\alpha,\Bbb Q[X])$, entonces a partir de la $\alpha$ es un entero algebraico, la Tir es en realidad en $\Bbb Z[X]$.

Luego tenemos la $\alpha^n+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+c_1\alpha\pm1=0$ todos $c_i\in\Bbb Z$; dividir por $\alpha$ y consigue $\mp1/\alpha=\alpha^{n-1}+c_{n-1}\alpha^{n-2}+\cdots+c_1$, donde el lado derecho es un entero algebraico.

(Sólo es necesario un pequeño ajuste en el caso de $K\ne\Bbb Q(\alpha)$.)

Answer 4

Denotar por $N$ la norma de $K/\mathbf Q$. Si $x$ es una unidad de $K$, $N(x)$ $N(x^{-1})$ son racionales enteros cuyo producto es $1$, por lo tanto $N(x)=\pm 1$. Por el contrario, si $x\in O_K$ norma $\pm 1$, su polinomio característico lee $X^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x\pm 1\in\mathbf Z[X]$. A continuación, $\pm (x^{n-1}+...+a_1)$ es un entero algebraico que es la inversa de a $x$.

NB. Acabo de darme cuenta de que éste es casi exactamente la respuesta dada por Lubin ! El polinomio característico de a $x$ es, por definición, el polinomio característico (en el sentido de álgebra lineal) de la multiplicación por $x$. Sus raíces son exactamente los de la mínima polinomio repetido $[K:\mathbf Q(x)]$ veces.