¿Cómo podemos resolver esta ecuación? $$e^{\sin x} + e^ {\cos x} = e + 1$$
Sé que $x=0$ $x=\pi/2$ son soluciones, así como sus periodos, y que $x$ tiene que ser entre el$0$$\pi/2$, pero no sé cómo demostrar que no hay otras soluciones.
Respuesta
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Según lo sugerido por @zhw, voy a poner aquí una prueba de la instrucción: la única raíces reales de la ecuación $$ e^{\sin x}+e^{\cos x}=e+1 $$ son $x=2\pi k,$ $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,$ $k\in\mathbb{Z}.$
De $2\pi-$periodicidad de $\sin$ $\cos$ es suficiente para mostrar que la única raíces de $[0,2\pi)$ $x=0$ $x=\frac{\pi}{2}.$ $\frac{\pi}{2}<x<2\pi$ una de las funciones de $\sin$ o $\cos$ es negativo, por lo que, en suma $e^{\sin x}+e^{\cos x}$ un sumando es $<1.$ El otro siempre es $\leq e$ y el valor de $e+1$ no puede ser obtenido.
Queda por considerar $x\in[0,\frac{\pi}{2}].$ Vamos $f(x)=e^{\sin x}+e^{\cos x},$ $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}.$ a Continuación, para $0<x<\frac{\pi}{2}$ $$ f'(x)=\cos xe^{\sin x}-\sin xe^{\cos x}=\sin x\cos x\bigg(\frac{e^{\sin x}}{\sin x}-\frac{e^{\cos x}}{\cos x}\bigg)=\sin x\cos x (g(\sin x)-g(\cos x)) $$ donde $g(t)=\frac{e^t}{t}.$ $0<t<1$ la función de $g$ está disminuyendo, como $g'(t)=\frac{e^t(t-1)}{t^2}.$ $$ f'(x)>0\Leftrightarrow g(\sin x)>g(\cos x)\Leftrightarrow \sen x<\cos x $$ La función $f$ es estrictamente decreciente en a $[0,\frac{\pi}{4}]$ y estrictamente creciente en a $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}].$ $e+1=f(0)=f(\frac{\pi}{2}),$ todos los $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ tenemos $f(x)<e+1.$
