Antecedentes: sólo he visto los aspectos más básicos de la geometría algebraica de Milne notas sobre variedades algebraicas, y por lo tanto mi forma de ver el tema como un todo, es bastante limitada. Por lo tanto, al responder a esta pregunta por favor trate de ser algo concreto o bien explicar de qué estás hablando (no tengo idea de lo que palabras como "cohomology" o "derivado functor" tiene que ver con AG :-).
La más abstracta, la forma de definir una variedad afín es lo definen como un $k$anillos espacio isomorfo a la máxima del espectro de $\operatorname{Spm}(A)$ de un (reducido, finitely generado como un $k$-álgebra) en el anillo de $A$. La costumbre de la teoría de conjuntos algebraicos preferidas con incrustaciones en algunos afín espacio de $\mathbb A^n$ es el principal ejemplo - a saber, tome $A=k[V]$ a ser el de coordinar el anillo de $k[X_1,\dots,X_n]/I(V)$ de algunos algebraicas set $V\subset\mathbb A^n$. A continuación, la máxima adecuada a los ideales de la $k[V]$ corresponden a un mínimo de vacío subconjuntos algebraicos - puntos - y esto le da una muy intuitiva y "clásico geométrico" en razón a generalizar al caso en el $A$ no es un cociente de un polinomio anillo.
Lo que sé acerca de las afines a los esquemas de su definición - son $k$-rodeada de espacios isomorfos para el primer espectro de $\operatorname{Spec}(A)$ de algunas anillo de $A$. De modo que la diferencia entre los regímenes y las variedades destaca una simple generalización: máxima ideales convertirse en el primer ideales. Esto no gel con la teoría geométrica de antes: por ejemplo, el caso simple de $\operatorname{Spec}k[X,Y]$ corresponde al conjunto de irreductible algebraicas subconjuntos que no tiene casi inmediata una geométricas de la motivación. Entiendo lo que permite nilpotents puede ser útil, pero puede que alguien me explique, en términos simples, ¿por qué esta generalización para el primer espectros es tan bueno y tan importante?
