Es Mi Prueba de que $\pi^e < e^{\pi}$ Válido?

Question

El otro día, un profesor de matemáticas en mi universidad me dio un reto problema: Demostrar que $$\pi^e < e^{\pi}$$ sin usar una calculadora. Al día siguiente, me encontré con una prueba válida, pero he utilizado un registro de la tabla en lugar de una calculadora, así que mi prueba es apenas satisfactorio. Me fui en busca de otra prueba y se me ocurrió algo que podría no ser legítimo. Aquí está mi prueba:

Supongamos que es un $x$ tal que $x^e < e^x$

Entonces, toma el logaritmo natural de ambos lados,

$$\ln(x^e) < \ln(e^x)$$

$$e\ln(x) < x$$

$$\ln(x) < \frac{x}{e}$$

Diferenciar ambos lados,

$$\frac{1}{x} < \frac{1}{e}$$

$$x>e$$

Por lo tanto, $x^e < x^e$ $x > e$

Desde $\pi > e$, por lo $\pi^e < e^{\pi}$

Creo que mi prueba es buena, excepto quizás cuando me diferenciadas a ambos lados de la desigualdad. Sé que hay muchos casos en que esto no es válido, pero no estoy seguro acerca de este caso.

Answer 1

Su diferenciación no es válido. Comparación de los gradientes no es suficiente para la comparación de las funciones. Voy a ofrecer dos alternativas para demostrar a continuación:

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Expansión De Taylor:

El uso de la expansión de Taylor de $e^x$, $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \cdots$$

de modo que $e^x > 1 + x$ largo $x \neq 0$. A continuación, dejando $x = \frac{\pi}{e} - 1$ tenemos $$e^{\pi/e -1} > \pi/e,$$

y así, multiplicando ambos lados por $e$ nos dan

$$e^{\pi/e} > \pi.$$

Por lo tanto,

$$e^{\pi} > \pi^e.$$

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Cálculo alternativo basado en:

Considere la función $x^{\frac{1}{x}}$. La diferenciación de esta función de los rendimientos $$x^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{x^2}\right)(1-\ln x)$$ We can see that this function attains its global maximum at $x=e$ by setting the derivative to $0$ y de problemas.

Por lo tanto, tenemos $$e^{\frac{1}{e}} > \pi^{\frac{1}{\pi}}$$ so we get $$e^{\pi}>\pi^{e}.$$

Answer 2

Usted no puede diferenciar como eso. Eso es muy malo.

Sugerencia: considere la función $f(x)=x^{1/x},\space x>0$. Mostrar que $f$ alcanza su máximo cuando se $x=e$. Y listo.

Answer 3

Como otros han señalado, no puede diferenciar y creo que la desigualdad sigue siendo válido. Sin embargo, usted puede integrar, volver sobre sus pasos.

$$x>e\implies \frac1x<\frac1e\implies \int_e^{\pi}\frac1x\,dx<\int_e^{\pi}\frac1e\,dx\implies \log \pi < \frac{\pi}e\implies \pi^e<e^\pi$$

Answer 4

No, la prueba no es válida. La idea es buena, sin embargo: la desigualdad $$ x^e<e^x $$ es equivalente (por $x>0$)$e\log x<x$. Considere la función $$ f(x)=x-e\log x $$ definido por $x>0$. Sus límites en $0$ y a las $\infty$ ambos $\infty$.

A continuación, puede considerar la derivada: $$ f'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x} $$ la que se muestra la función es decreciente para $0<x<e$ y el aumento de $x>e$. El mínimo absoluto es $$ f(e)=e-e=0 $$ así, por $x>e$, sabemos que $f(x)>0$.

Por lo tanto, para $x\ne e$, $x>e\log x$, es decir, $e^x>x^e$. Esto se aplica en particular para $\pi\ne e$.