¿Qué ángulo elegir para la sustitución trigonométrica?

Question

por primera vez en este intercambio de pilas, así que me disculpo si este es el lugar equivocado para hacer esta pregunta.

Me preguntaba cómo se supone que se puede elegir correctamente un ángulo cuando se usa la sustitución de trigonometría para resolver una integral.

Digamos que tengo $$ \int \frac {1}{ \sqrt {a^2 - x^2}} \, \mathbb {d}x $$ Primero veo que el triángulo que va junto con esto es

                                  |
                                / |
                              /   |
                            /  phi|
                          /       |
                        /         |
                      /           |
              a     /             |
                  /               |
                /                 |
              /                   |
            /                     |
          /                       |
        /                         |
      /                           | sqrt(a^2-x^2)
    /                             |
  /                               |
/    theta                        |
----------------------------------
               x

Así que mi pregunta es por qué elegimos phi en esta imagen en lugar de theta para basar todas las fórmulas alrededor.

En otras palabras, ¿por qué no usamos $ \cos\theta = \frac {x}{a}$ pero usa $ \sin\phi = \frac {x}{a}$ para nuestras sustituciones?

Si usamos theta para basar todas nuestras fórmulas alrededor de entonces $$ x = a \cos\theta \\ dx = -a \sin\theta\ , \mathbb {d} \theta $$ así que la integral se convierte en $$ \int \frac {1}{a \sqrt {1- \cos ^2 \theta }} (-a \sin\theta ) \; \mathbb {d} \theta \\ = -1 \int \frac { \sin \theta }{ \sqrt {1- \cos ^2 \theta }}\, \mathrm {d} \theta $$ Y como $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 \implies \sin \theta = \sqrt {1- \cos ^2 \theta }$ la integral se convierte en $$ -1 \int \frac { \sin \theta }{ \sin \theta } \, \mathbb {d} \theta \\ = -1 \int 1 \, \mathbb {d} \theta \\ = - \theta + C = - \arccos \left ( \frac {x}{a} \right ) + C $$ Pero esto está mal ya que de acuerdo con todo lo que he mirado... así que ¿por qué elegimos el phi en ese diagrama y no el theta ??

Me disculpo si esta es una pregunta tonta.

¡¡Gracias por adelantado!!

EDITAR:

Sólo quería añadir un ejemplo con límites y un valor real para un, así que hagamos $$ \int_0 ^{ \pi } \frac {1}{ \sqrt {1-x^2}} \, \mathbb {d}x $$ Por el trabajo anterior sabemos que esto se convierte en $$ - \arccos {x} |_0^{ \pi } \\ = - \arccos { \pi } - (- \arccos {0}) \\ = \arccos {0} - \arccos { \pi } $$ Ahora bien, si usamos el pecado esto se convierte en $$ \arcsin {x} |_0^{ \pi } \\ = \arcsin { \pi } - \arcsin {0} $$ Así que todavía estoy un poco confundido a menos que esos resulten ser el mismo valor EDITAR * 2: Acabo de darme cuenta de que de hecho son iguales. ¡Gracias Andre por ayudarme!

Answer 1

Tengan en cuenta que $ \arcsin t$ y $- \arccos t$ difieren por un constante . Así que ambos procedimientos, el "estándar" y el que usted sugiere, son correctos. Para dar un ejemplo más simple, $ \displaystyle\int 2x\,dx=x^2+C$ y $ \displaystyle\int 2x\,dx=x^2+17 \pi +C$ son ambos correctos.

En cuanto a por qué la preferencia común por $ \arcsin $ puede ser una simple cuestión de evitar los signos de menos si es posible. Tal vez el hecho de que $ \arcsin 0=0$ es un factor de conveniencia añadido.

Observación: En varias formas, la función del coseno se comporta mejor que la del seno. Pero por razones históricas, parece estar condenada a ser vista para siempre como secundaria.

Answer 2

Recuerda la identidad trigonométrica $$ \arcsin\theta + \arccos\theta = \frac\pi2 , $$ para que $$ - \arccos\theta = \arcsin\theta + \text {constant}. $$