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La función está acotada arriba

Hay una buena manera de mostrar que sin(x)x está acotada arriba por 1?

Podemos ver visualmente que sin(x)x está acotada arriba por 1 porque el más alto de la joroba está en el origen y lim. Pero hay una manera de probar esto con rigor? Preferiblemente sin necesidad de expandir \sin(x) en una serie de Taylor, a menos que la serie de Taylor es la única manera.

5voto

Alex S Puntos 6684

Claramente, |\sin(x)|\leq |x| al |x|>1. Para |x|\leq 1, puede utilizar el valor medio teorema para demostrar que x=0 es la única solución a \sin x=x. Por lo tanto, \sin x<xx>0\sin(x)>x x<0. Esto implica que \left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\leq 1.

4voto

SiteKickr Puntos 181

Considere la posibilidad de esta imagen de la unidad de círculo, donde el área de un triángulo es \frac{1}{2}\sin(\theta) y el área del círculo sector de la es \frac{1}{2}\theta. Se puede ver que \frac{1}{2}\sin(\theta) \le \frac{1}{2}\theta.

1voto

marty cohen Puntos 33863

Uso \pecado'(x) =\cos(x) , y \cos(x) \le 1 para obtener, para x \ge 0, \sin(x) =\int_0^x \cos(t)dt \le \int_0^x 1dt =x .

-2voto

NebulaGrey Puntos 11

De l'Hospital de la regla funciona: \lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{\ x} Se convierte en \lim_{x \to 0}\frac{cos(x)}{\ 1} Para la evaluación de 1

No puede ser tan rigurosa como la que quieras, aunque.

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