Probar que todo entero es de la forma $5k+r$ $0\le r<5$

Question

He venido a través de esta pregunta de mi libro de texto:

Demostrar o refutar: cualquier entero $n$ es de la forma: $5k$, $5k + 1$, $5k + 2$, $5k + 3$ o $5k + 4$ para algunos entero $k$.

No estoy seguro de lo que sería el correspondiente método de prueba aquí. Puede que alguien me apunte en la dirección correcta?

Answer 1

Usar el Algoritmo de Euclides ( me refiero a que el Algoritmo de la División ): Dado $n$-un interger. Divida $n$ por $5$: $n = 5q+r$, a continuación, $r$ como el resto, debe ser no negativo, y a menos de $5$. Por lo tanto: $r = 0,1,2,3,4$. Por lo $n = 5q, 5q+1,5q+2,5q+3$ o $5q+4$, lo que demuestra la declaración.

Answer 2

Podemos probar esto por $n\ge 0$ por inducción en $n$. En primer lugar comprobar que $n=0=5k$$k=0$, como nuestro caso base. Supongamos ahora, nuestra hipótesis inductiva, que $n-1=5k+j$, para algunas de las $0\le j\le 4$. Si $0\le j\le 3$,$n=5k+(j+1)$, es de la forma deseada. Si en lugar de $j=4$,$n=5(k+1)+0=(5k+4)+1=(n-1)+1$.

Os dejo los $n<0$ a favor de hacer; se puede hacer de nuevo por inducción en $|n|$.

Answer 3

Es una consecuencia directa de la Euclídea división teorema (he cambiado un poco):

Dado enteros $a,b$$b> 0$, existen enteros $q,r$ tal que $a=bq+r$$0\le r<b$.

Prueba: $\lfloor x\rfloor$ es la función del suelo, es decir, entero más grande menor o igual a $x$:

$$\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\le \frac{a}{b}< \lfloor\frac{a}{b}\rfloor+1$$

$$\iff 0\le \frac{a}{b}-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor< 1$$

$$\iff 0\le a-b\lfloor\frac{a}{b}\rfloor< b$$

$$\iff a=b\lfloor\frac{a}{b}\rfloor+r$$

para algunos $0\le r< b$. QED. Así que para cualquier $a\in\Bbb Z$ podemos encontrar $q,r\in\Bbb Z$ $0\le r<5$ tal que $a=5q+r$.

Answer 4

El uso de la división larga: cualquier entero $n$ tiene un cociente $q$ y un resto $r$, $0\le r<5$, en la división por $5$, y estos son únicos.

Answer 5

Escribe el número en decimal y considerar la posibilidad de que el último dígito: $n=10m+d$ donde $d\in \{0,1,2,\dots,9\}$.

Si $d < 5$,$n=5k+r$$k=2m$$r=d$.

Si $d \ge 5$,$n=5k+r$$k=2m+1$$r=d-5$.