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Si $f$ está completo y $\exp(f(z))$ es un polinomio, entonces $f$ es constante.

En una pregunta reciente que acaba de ser borrada, @danielfischer dio al final de su respuesta el siguiente ejercicio: por entero $f$ , $$e^{f(z)} \text{ is a polynomial} \iff f \text{ is constant}$$

Estaba pensando en cómo probar esto... mi primera idea fue usar ese $\text{Re}(f)$ se especializa en algunos $\log$ función como $z\to \infty$ . ¿Alguna idea?

6voto

MrTuttle Puntos 1116

Una pista: Considere el tipo de la singularidad de $e^{f(z)}$ en $\infty$ .

Una pista diferente: En $e^{f(z)}$ ¿tiene ceros?

La primera pista se generaliza para mostrar que $e^{h(z)}$ para la analítica $h$ nunca puede tener un polo en una singularidad aislada de $h$ .

5voto

fianchetto Puntos 186

Se puede resolver con herramientas más elementales.

Es $\mathrm{e}^{f(z)}$ es un polinomio no constante, entonces tiene una raíz (debido al Teorema Fundamental del Álgebra), lo que contradice el hecho de que la exponencial no desaparece.

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