$\int \frac{1}{1-\sqrt x} \mathrm dx $ Evaluación de

Question

Tengo problemas con esta integral. Mi intento:

$$\int \frac{1}{1-\sqrt[]x} dx $$ $$1-\sqrt[]x=u$$ $$du= -\frac{1}{2 \sqrt[]x}dx \rightarrow 2(u-1)du=dx $$ $$2 \int \frac{u-1}{u}du = 2\int du - 2 \int \frac{1}{u}du= 2u - 2 \ln(u) = 2(1-\sqrt[]x)-2(\ln(1-\sqrt[]x)) $$

Pero el resultado es erróneo. ¿Dónde está el error?

Answer 1

En consonancia con los comentarios a su pregunta, vamos a ponerlo todo junto. Las dos primeras líneas muestran tu resultado, salvo por la constante arbitraria que falta y que debes incluir:

$$2 \int \frac{u-1}{u}du \quad = \quad 2\int du - 2 \int \frac{1}{u}du $$

$$ = \quad 2u - 2 \ln(|u|) + c $$

$$ = 2(1-\sqrt[]x)-2(\ln(1-\sqrt[]x)) + c$$

$$= 2 - 2\sqrt x - 2\ln|1 - \sqrt x| + c $$

$$ = -2\sqrt x - 2 \ln|1 - \sqrt x| + C$$

Dónde sustituimos $c$ con $2 + c = C$ , ambos $c$ y $C$ constantes arbitrarias.

¿Se parece esto al resultado (solución) al que se refiere? Si es así, puedes ver que las expresiones son soluciones equivalentes a la integral; y lo que es más importante, hemos añadido signos de "valor absoluto" alrededor de los argumentos de $\ln$ . Recordemos que $$\int \frac 1u du = \ln|u| + C$$

Una última observación: puesto que trabajamos con $\ln|1 - \sqrt x|$ como un término de la solución, se puede expresar de forma equivalente como $\ln|\sqrt x - 1|$ . Es decir, $$|1 - \sqrt x| = |\sqrt x - 1|,\quad \text{just as}\quad |1 - 3| = |3 - 1| = 2$$

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Este es un buen ejemplo para tener en cuenta en el futuro: aunque dos soluciones a un problema de integración indefinida pueden aparece diferentes, dependiendo de la sustitución realizada, funciones como la $\ln |u|$ o sustituciones trigonométricas alternativas pueden dar soluciones que parezcan diferentes, por lo que puedes tener dos, o incluso más, soluciones correctas, siempre que difieran sólo en términos de una constante. Siempre puedes probar una solución, si tienes dudas o si no coincide con la clave de respuestas, diferenciando tu solución. Si el resultado es el integrando original, has integrado correctamente.