Espacio de Banach y la secuencia

Question

Deje $(X,\left\Vert \cdot \right\Vert)$ ser una normativa espacio. Mostrar que $X$ es espacio de Banach (conforme a las norma) si y sólo si la suma de $\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n$ converge en $X$ para cualquier secuencia $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ de los vectores en $X$$\Sigma_{n=1}^{\infty}\left\Vert x_n \right\Vert<\infty$.

Para probar $\implies$, $X$ es un espacio de Banach es dado, y tengo que demostrar que la suma converge.

Pero estoy un poco confundido porque pensé $\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n$ es finito si $\Sigma_{n=1}^{\infty}\left\Vert x_n \right\Vert<\infty$ es dada y por lo tanto converge ya que la suma hasta el infinito es finito. Por favor me corrija si estoy equivocado.

Answer 1

Realmente tenemos que usar el hecho de que el espacio es un espacio de Banach. El hecho de que $\sum_{n=1}^{\infty}\left\lVert x_n\right\rVert$ no garantiza, en general, la convergencia de la secuencia de $\left(\sum_{n=1}^Nx_n\right)_{N\geqslant 1}$. Por ejemplo, supongamos $c_{00}$ ser el espacio de la secuencia de número real tal que sólo un número finito de términos no pueden desaparecer. Dotar a este espacio con el supremum normand deje $x_n$ a ser el elemento de $c_{00}$ cuyas $n$-ésimo término es $2^{-n}$ y todos los demás son cero. La norma de $x_n$$2^{-n}$, pero no hay convergencia en $c_{00}$.

Answer 2

Set$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}x_{n}$$n \geq 1$. A continuación, tenemos que mostrar que $\{S_{n}\}_{n =1}^{\infty}$ tiene un límite. Desde $X$ es un espacio de Banach es suficiente para mostrar que es de Cauchy. Si $n > m$,$||S_{n} - S_{m}|| = || \sum_{k = m+1}^{n} x_{k}|| \leq \sum_{k = m+1}^{n} ||x_{k}||$. Desde $\sum_{k = 1}^{\infty}||x_{k}|| < \infty$, $\sum_{k = m+1}^{n}||x_{k}|| \rightarrow 0$ como $m,n \rightarrow \infty$ y, por tanto, $\{S_{n}\}_{n = 1}^{\infty}$ es de Cauchy.