Infinita suma de la alternancia de los telescópico de la serie

Question

Estoy luchando para encontrar la suma de la siguiente serie:

$$\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+3)(n+5)}.$$

Parece que debería ser un simple telescópico de la serie. He intentado solucionar de la forma habitual (a través de fracciones parciales), pero alternando el signo hace que la suma de modo que uno no puede cancelar las fracciones a resultado en un número finito de suma de fracciones. Sé que la serie converge por la alternancia de la prueba del signo, y puedo comprobar en WolframAlpha que el infinito suma converge a $-7/480$. Alguna idea sobre cómo proceder?

Answer 1

Tenemos (por el teorema de los residuos o por álgebra lineal) : $$ \frac{1}{(n+1)(n+3)(n+5)}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+3}+\frac{1}{n+5}\right) $$ así como (por el cambio de la suma del índice): $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n+1}=-1+\log 2, $$ $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n+3}=-\frac{5}{6}+\log 2, $$ $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n+5}=-\frac{47}{60}+\log 2. $$ Simplemente combine ellos. $\log 2$ cancela desde $1-2+1=0$ (tenemos una función de meromorphic que es$O\left(\frac{1}{|z|^2}\right)$$|z|\to +\infty$, por lo tanto la suma de sus residuos es necesario cero).

Answer 2

La reescritura de la alternancia suma como una diferencia de dos sumas de dinero infinito. $$\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+3)(n+5)} = \sum_{n=1} ^{\infty} \frac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}-\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{1}{2n(2n+2)(2n+4)}$$ You'll probably wnat to convince yourself of the equality. Now you can use partial fraction decomposition to decompose $\frac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}$ and $\frac{1}{2n(2n+2)(2n+4)}$ into three separate fractions each, giving you six infinite sums in total. From there you should be able to make some judicious cancellations and get your result. You may find one of my previous questions helpful at this point. Exact value of $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+k)(n+l)}$ for $k \in \Bbb{N}-\{0\}$ and $l \en \Bbb{N}-\{0,k\}$

Answer 3

Descomposición parcial proporciona:

$S = \sum_{1}^{\infty} (-1)^n[\frac{1}{8(n+1)} - \frac{1}{4(n+3)}+\frac{1}{8(n+5)}]$

La división de S_Even y S_Odd

$S_{Even} = \frac{1}{8.3} - \frac{1}{4.5}+\frac{1}{8.5}$

$S_{Odd} = -\frac{1}{8.2} +\frac{1}{4.4} - \frac{1}{8.4}$

Todo lo demás se cancela el

Cuando usted suma de estos consigue $S = \dfrac{-7}{480}$

Siempre no he hecho ningún error de cálculo