Demostrar que $\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a+b}{a+b+c}\right)^2\geq\frac{16}{9}$

Question

Vamos $a$, $b$, $c$ y $d$ ser números positivos. Probar que: $$\left(\frac{a+b}{a+b+c}\right)^2+\left(\frac{b+c}{b+c+d}\right)^2+\left(\frac{c+d}{c+d+a}\right)^2+\left(\frac{d+a}{d+a+b}\right)^2\geq\frac{16}{9}$$ Traté de C-S y más, pero sin éxito.

Estoy buscando un humano de la prueba, que podemos utilizar durante la competición.

Answer 1

SUGERENCIA

El uso de sustituciones $x =a+b+c, y = b+c+d, z = c+d+a, t = a+b+d$ obtenemos $$(\frac{a+b}{a+b+c})^2=\frac 1 9(2 + \frac t x - \frac y x -\frac z x)^2$$ Similar para los otros términos. Eliminar las plazas, a continuación, utilice el hecho de que $r + \frac 1 r \ge 2, r \gt 0$.