Orden finito máximo de los grupos abelianos

Question

Sea $G$ sea un grupo conmutativo, y sea $g$ sea un elemento de $G$ sea un elemento de orden finito máximo, entonces $|h|\leq |g|$ . Demuestre que, de hecho, si $h$ es de orden finito en $G$ entonces $|h|$ divide $|g|$ .

Esto es lo que tengo:

Prueba por contradicción Si $|h|$ es finito pero no divide $|g|$ entonces existe un número entero primo $p$ tal que $|g|=rp^m$ , $|h|=sp^n$ con $r$ y $s$ relativamente primo a $p$ y $m < n$ .

(Aquí es donde no sé a dónde ir).

Answer 1

Supongamos que el $|h|$ no divide $|g|$ entonces $|h|$ contiene un factor primo con multiplicidad mayor que en $|g|$ . Esto nos dice que $gh$ tiene un orden mayor que el de $g$ contradiciendo la hipótesis.