Curiosamente, la forma de la gota que has dibujado en el esquema lo explica bastante bien. En las gotas que se mueven sobre una superficie (a velocidades relativamente bajas) hay dos fuerzas que contrarrestan la gravedad: las fuerzas viscosas y las fuerzas de tensión superficial.
Las fuerzas viscosas son causadas esencialmente por la condición de no deslizamiento en la interfaz entre la gota y la cuerda. Por otro lado, las fuerzas de tensión superficial son el resultado de los ángulos de contacto fuera de equilibrio en la parte delantera y trasera de la gota, como se muestra en el siguiente esquema:
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En equilibrio, los ángulos de contacto son el resultado del equilibrio de las tensiones superficiales como: $\gamma_{sl}+\gamma_{gl}\cos\theta_e-\gamma_{sg}=0$ donde los subíndices indican sólido (s), líquido (l) y gas (g). Se trata, en esencia, de un equilibrio de fuerzas (por unidad de longitud), por lo que un ángulo de contacto distinto de $\theta_e$ da como resultado una fuerza neta en lugar del 0 en la rs. La magnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) puede demostrarse fácilmente que es: $F/l=\gamma_{gl}(\cos\theta_e-\cos\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo de contacto fuera del equilibrio.
Si aplicas esto a una gota que se desliza hacia abajo tendrás un ángulo de desequilibrio tanto en la parte delantera $(\theta_f)$ y la parte trasera $(\theta_b)$ que resulta en una fuerza neta de $F/l=\gamma_{gl} (\cos\theta_b-\cos\theta_f)$ . Resulta que la velocidad de deslizamiento sería aproximadamente 5 veces mayor si se despreciara este término con respecto al rozamiento puramente viscoso, lo que significa que éste es de hecho el término dominante (véase esta presentación del Prof. Limat y sus referencias ).
¿Qué velocidad podemos esperar? Encontrar una respuesta exacta es extremadamente difícil, pero puedo darte una estimación basada en un simple balance de fuerzas. Balanceamos la fuerza gravitacional $F_g=\rho V g \sin \alpha$ (donde $\alpha$ es el ángulo de la cuerda respecto a la horizontal) con la fuerza de "arrastre". Volviendo a la presentación del profesor Limat, se puede ver que los ángulos de contacto de la gota dependen de hecho de la velocidad de la gota: $$\theta_{b}^3=\theta_e^3- 130 Ca \;\;\text{and}\;\; \theta_{f}^3=\theta_e^3+ 130 Ca$$ donde he tomado el prefactor del número capilar ( $Ca=\frac{\mu u}{\gamma_{lg}}$ ) lo mismo que en la presentación. Como puede ver $Ca$ es una velocidad adimensional. Así que podemos escribir la fuerza neta de los ángulos fuera de equilibrio en términos de la velocidad: $$F_d=\gamma_{lg} \sqrt[3]{V} \left[\cos \left(\sqrt[3]{\theta_e^3-130 Ca}\right)-\cos \left(\sqrt[3]{\theta_e^3+130 Ca}\right)\right] $$ donde he estimado $l$ como la raíz cúbica del volumen $V^{1/3}$ .
Resolver $F_d=F_g$ debería darnos $Ca$ entonces, pero lamentablemente sólo podemos hacerlo en el límite de pequeñas $Ca$ debido a la forma trascendental de $F_d$ con respecto a $Ca$ . La linealización en $Ca$ entonces resulta: $$u= \frac{3 g \rho \theta_e^2 V^{2/3} \sin \alpha }{260 \mu \sin \theta_e}$$
Para valores razonables de los parámetros (gota de agua de $V=30 \mu L$ ) esto resulta en alrededor de $0.1-1\; \text{m}/\text{s}$ que, efectivamente, es mucho menor que la velocidad de caída libre de dicha gota, que es de decenas de metros por segundo.
