Un trivial pregunta relativa a $sl_{n}\mathbb{C}$ representaciones

Question

La pregunta es, ¿el hecho de $$ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0\\ 0 & 1 &0 \end{array}\right)^{2}=0, \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0\\ 1 & 0 &0 \end{array}\right)^{2}=0$$ la influencia de $SU(3)$'s representación irreducible?

Antecedentes: Para simplificar estoy trabajando sobre el caso de $SU(3)$. Para todos los $sl_{n}\mathbb{C}$ cualquier representación irreducible es generado por la repetida aplicación de peso negativo elementos para el peso máximo de vectores $v$ (estándar de referencia, Serre). Pero cuando yo trato de sacar el peso diagrama de partida de cualquier peso máximo de vectores $v$$H$, dicen (10, 20), a continuación, repetir la aplicación de la negativa de peso elemento como este $ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0\\ 0 & 1 &0 \end{array}\right)$ siempre me dan cero, porque $ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0\\ 0 & 1 &0 \end{array}\right)^{2}=0$. Now elementary analysis showed that $v$'s de la imagen bajo la acción de $ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0\\ 0 & 1 &0 \end{array}\right)$ y $ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0& 0\\ 0 & 0 &0 \end{array}\right)$ actually generates $V$. So $V$'s weight diagram must be very small, which is counter-intuitive for me. I am hoping I may claim there exists irreducible subrepresentation of $sl_{2}\mathbb{C}$ by similar arguments using either of the matrices repeatedly until the image vanishes. I think I must be confused with something very basic, like the embedding of $sl_{3}\mathbb{C}$ in $gl_{n}\mathbb{C}$ o algo así.

Answer 1

Para una representación $\pi$ de una Mentira álgebra $\mathfrak g$, es natural que desee $\pi(x)\pi(y)=\pi(x\cdot y)$, para algunos noción de "producto", pero hay problemas. Por supuesto, el producto $\pi(x)\pi(y)$ en el endomorfismo de álgebra de la representación del espacio es el producto habitual de que _associative_algebra_. A continuación, el producto en $\mathfrak g$ no puede ser la Mentira de soporte de $[x,y]$, debido a $\pi$ respeta, y, en lugar de $\pi([x,y])=[\pi(x),\pi(y)]=\pi(x)\pi(y)-\pi(y)\pi(x)$.

Pero nosotros queremos un producto "en la $\mathfrak g$" que se asigna a la composición de endomorphisms en un repn espacio. De hecho, no hay una única álgebra asociativa $U\mathfrak g$ a que $\mathfrak g$ imbeds linealmente, de tal manera que cada Mentira álgebra homomorphism $f:\mathfrak g \rightarrow A$ a un álgebra asociativa $A$ con la Mentira de soporte de $[a,b]=ab-ba$ factores a través de $U\mathfrak g$ por un álgebra asociativa mapa de $F:U\mathfrak g\rightarrow A$. Este es el "universal que envuelve álgebra" de $\mathfrak g$. (Se caracteriza por esta asignación de la propiedad, y generalmente se construyen a través de la "tensor de álgebra" de $\mathfrak g$.)

A continuación, el conceptual de la trampa de pensar que "sin duda" para álgebras de Lie $\mathfrak g$ que son las matrices, la multiplicación en $U\mathfrak g$ es la matriz de la multiplicación. "¿Qué otra cosa podría ser?" Pero no es la multiplicación de la matriz (como en los ejemplos de la ilustran los comentarios). El universal envolvente de álgebra de la multiplicación no es mucho más relacionados con la multiplicación de la matriz. - No puede ser, porque $U\mathfrak g$ tiene que ser capaz de asignar a muchos de los grandes álgebras asociativas. La de Poincaré-Birkhoff-Witt teorema de la prueba decisiva de que el álgebra envolvente es de dimensiones infinitas...

(Recuerdo que volverme loca a través de este tipo de problema...)

Answer 2

La respuesta corta a tu confusión es que lo que usted piensa que debería contener, $\rho(xy)=\rho(x)\rho(y)$, de hecho presionado por la representación de la Mentira de grupo, pero no para la representación de la Mentira de álgebra (de hecho el producto $xy$ no tiene ningún sentido en general Mentira álgebra). Lo que se sostiene por la Mentira, el álgebra se obtiene por diferenciación a partir de lo que se sostiene por la Mentira de grupo, y esto le da el colector relación de Jyrki del comentario. También tenga en cuenta que para $G=SU(3)$, la Mentira de álgebra $sl_{3}\mathbb{C}$ es el complexified Mentira álgebra; el nilpotent matrices que escribió no viven en el real álgebra de Lie compacto, el real grupo de $SU(3)$. El hecho de que todo (me refiero a la Mentira de grupo y el álgebra, no el universal que envuelve álgebra) incrusta en la misma matriz de anillo es realmente un arenque rojo, creo.