El homomorphism entre lo real y completa ordenó campo.

Question

Estoy teniendo problemas para demostrar que $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Deje $K$ ser un completo ordenó campo y $0'$ $1'$ ser el cero y la unidad de $K$. Para cada una de las $n\in \mathbb N$, se ha $n'=n\cdot1'=+1'+...+1$ (n-veces) y $(-n)'=-n'$. Definimos un la función $f:\mathbb R\ \to K$ $f(p/q)=p'/q'$ por cada $p/p\en \mathbb P$ and for each x irracional, $f(x)=\sup\{p'/q'\en K;p/q\lt x\}$. Prove that $f$ es un homomorphism.

Desde

$\{p'/q'\in K;p/q\lt x\}+ \{p'/q'\in K;p/q\lt y\}\subset \{p'/q'\in K;p/q\lt x+y\}$ ,$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$. Necesito ayuda para demostrar la inversa, es decir, $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.

Realmente necesito ayuda.

Muchas gracias.

Answer 1

SUGERENCIA: Es posible que $x+y$ es racional, incluso si $x$ $y$ son irracional, por lo que sería una buena idea comenzar por mostrar que si $x$ es racional, entonces

$$f(x)=\sup\left\{\frac{p'}{q'}\in K:\frac{p}q<x\right\}\;.$$

En otras palabras, la definición de $f$ $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ también da el valor correcto en $\Bbb Q$. Esto te permitirá evitar tener que lidiar con varios casos. Una vez que tienes eso, el hecho de que

$$\left\{\frac{p'}{q'}\in K:\frac{p}q<x\right\}+\left\{\frac{p'}{q'}\in K:\frac{p}q<y\right\}\subseteq\left\{\frac{p'}{q'}\in K:\frac{p}q<x+y\right\}$$

demuestra que los $f(x)+f(y)\le f(x+y)$, incluso si $x+y\in\Bbb Q$. Por el contrario la desigualdad, supongamos que

$$f(x)+f(y)<f(x+y)=\sup\left\{\frac{p'}{q'}\in K:\frac{p}q<x+y\right\}\;;$$

entonces no es $\dfrac{p}q\in\Bbb Q$ tal que $\dfrac{p}q<x+y$$f(x)+f(y)<\dfrac{p'}{q'}$. Deje $z=x+y-\dfrac{p}q>0$, y deje $\dfrac{r_x}{s_x},\dfrac{r_y}{s_y}\in\Bbb Q$ satisfacer $$x-\frac{z}2<\dfrac{r_x}{s_x}<x\quad\text{and}\quad y-\frac{z}2<\frac{r_y}{s_y}<y\;.$$

A continuación, $$\frac{p}q=x+y-z<\frac{r_x}{s_x}+\frac{r_y}{s_y}<x+y$$

y

$$\frac{r_x'}{s_x'}+\frac{r_y'}{s_y'}\le f(x)+f(y)<\frac{p'}{q'}\;;$$

¿ves por qué es esto un problema?