Supongamos que tengo una secuencia de números primos que comienza con 3, 5, 7, 11.... y multiplico los primeros 16 números primos. ¿El resultado de la multiplicación será divisible por cualquier número compuesto o por un producto de números compuestos?
El producto de los dieciséis primeros primos es $961380175077106319535$ (Lo he buscado en la OEIS pero también podría haber utilizado la calculadora de un ordenador).
Obviamente, este número no es divisible por ningún entero par. Sin embargo, es divisible por estos números compuestos: $$15, 21, 33, 39, 51, 57, 69, 87, 93, 111, 123, 129, 141, 159, 177$$
Y eso es sólo los números compuestos que son divisibles por $3$ y otro primo. Este producto también es divisible por los siguientes números compuestos:
$$35, 55, 65, 85, 95, 115, 145, 155, 185, 205, 215, 235, 265$$
Esto nos lleva a la conclusión de que $961380175077106319535$ es divisible por números compuestos. No es necesario seguir enumerando los divisores compuestos de este número con dos factores primos. A menos que realmente quieras hacerlo.
Pero pasemos a sus divisores que son divisibles por cuatro primos, como $1155$ . Desde $1155 \mid 961380175077106319535$ y $$1155 = 15 \times 77 = 21 \times 55 = 33 \times 35,$$ se deduce que $961380175077106319535$ es divisible por números compuestos que a su vez son productos de números compuestos.
Podemos seguir con esto hasta que te canses, la única limitación es que sólo tenemos dieciséis primos para trabajar.
Piénsalo así: el 3 es primo, ¿verdad? Y también lo es el 5. Pero $3 \times 5 = 15$ que es compuesto. Es el producto de los dos primeros primos de impar.
Así que vemos que 3 y 5 son primos, y también 7. Pero $3 \times 5 \times 7 = 105$ que es compuesto. Obviamente, 105 es divisible por 15.
En lugar de $3 \times 5 \times 7$ Podríamos haber hecho $15 \times 7$ para obtener la misma respuesta. Y luego para multiplicar en el siguiente primo podemos hacer $105 \times 11 = 1155$ . Este número es divisible entre 15 y 105.
Luego pasamos a $1155 \times 13 = 15015$ . Este número es divisible por 15, 105 y 1155.
Por supuesto, el 15015 tiene muchos otros divisores, pero he decidido centrarme en los números que podemos llamar "medio primoriales". Un primorial es el producto de primos consecutivos que empiezan por 2. Un medio primorial es el producto de primos Impares consecutivos que empiezan por 3.
Sólo el primer primorial y el primer medio primorial son primos. El resto son compuestos y, lo que es más importante para tu pregunta, cada primorial es divisible por todos los primoriales y semiprimoriales más pequeños, y cada semiprimoral es divisible por todos los semiprimoriales más pequeños, casi todos los cuales son compuestos.
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Pruebe esto por primera vez $3$ primos. Encuentra todos los divisores. Entonces para el primer $4$ primos. Deberías ver el patrón. La prueba es una consecuencia fácil del teorema fundamental de la aritmética. Puedes buscarlo si es necesario.
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@EthanBolker En realidad estaba buscando una prueba o algo relacionado con ella. Sólo para estar seguro.
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Como el resultado es libre de cuadrados, tiene exactamente $2^{16} = 65536$ divisores, y todos menos $16$ son compuestas (incluyendo $1$ ).
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@DanBrumleve Gracias