Notación matricial de la Forma de las Raíces de una Ecuación Cuadrática

Question

Sabemos que la ecuación de segundo grado $$f(x)=ax^2+bx+c=0$$ tiene raíces $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac b{2a}\pm \frac 1a\sqrt{-\left(ac-\frac {b^2}4\right)}$$

También, $f(x)$ puede ser escrito en notación matricial como sigue: $$f(x)= \left(\begin{matrix}x&1\\\end{de la matriz}\right) \left(\begin{matrix}a&\frac b2\\\frac b2&c\end{de la matriz}\right) \left(\begin{matrix}x\\1\end{de la matriz}\right)=\mathbf{x^T Q x}$$ donde el determinante de a$\mathbf Q$$\left(ac-\frac {b^2}4\right)=-\frac 14\left(b^2-4ac\right)$, donde casualmente el familiar $(b^2-4ac)$ es el discriminante de la ecuación cuadrática $f(x)$.

Por lo tanto las raíces de la ecuación cuadrática $f(x)=0$ puede ser escrito como $$x=-\frac b{2a}\pm \frac 1a\sqrt{-\det(\mathbf Q)}$$ Esto es equivalente a $$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac {-\det(\mathbf Q)}{a^2}$$ O en forma más prolija, $$\left(ax+\frac b{2}\right)^2={-\det(\mathbf Q)}$$

Pregunta
Las raíces de $f(x)=0$ ser derivados y escrita completamente en notación matricial, teniendo en cuenta el vínculo entre el determinante y discriminante como se muestra arriba?

Answer 1

Me han obtenido una fórmula con un poco cambiado la notación de la comparación de la notación utilizada en la pregunta.

He intercambiado los componentes de $\mathbf x$ (el nuevo vector se denota como $\mathbf{ \hat{x}}$ ) y he intercambiado las entradas de la diagonal principal de a $ \mathbf Q$ (nueva matriz se denota como $ \mathbf M$ - intercambio de entradas de la diagonal de a $2 \times 2$ matrices no cambia el determinante) .

A continuación, $f(x)$ puede ser escrito como

$$f(x)= \begin{bmatrix}1&x\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c&\frac b2\\\frac b2&a\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\x\end{bmatrix} =\mathbf{\hat{x}^T M \hat{x}}=0$$

Se puede calcular que

$ \begin{bmatrix}1 & x\\0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c & \frac{b}{2}\\\frac{b}{2} & a\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0\\x & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{b x}{2} + c + x \left(a x + \frac{b}{2}\right) & a x + \frac{b}{2}\\a x + \frac{b}{2} & a\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & a x + \frac{b}{2}\\a x + \frac{b}{2} & a \end{bmatrix} $

También sabemos que el determinante de una matriz producto es igual al producto de los determinantes de la multiplicación de matrices.

Además contamos $\det( \mathbf Q)=\det(\mathbf M)$.

De esto se deduce que $ \det( \mathbf Q)=-\left( ax+ \frac{b}{2}\right)^2$.

Answer 2

Nos deja cambiar a coordenadas homogéneas y el uso de $2b$ en lugar de $b$ por conveniencia.

$$ax^2+2bxy+cy^2=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\mathbf{p^TQp}=0.$$

Asumiendo $Q$ diagonalizable, tenemos (la transformación de $P$ puede ser tomado ortonormales)

$$\mathbf{p^TQp}=\mathbf{p^TP^TDPp}=\mathbf{q^TDq}=0.$$

La última expresión es de la forma

$$\lambda_0u^2+\lambda_1v^2=0$$ where the lambdas are the Eigenvalues of $\mathbf P$. For the equation to have real solutions, the Eigenvalues must have opposite signs, or $\lambda_0\lambda_1\le0$, which is precisely $-\det(\mathbf Q)=b^2-ac\ge0$.

La cónica factores como

$$\left(\sqrt{|\lambda_0|}u+\sqrt{|\lambda_1|}v\right)\left(\sqrt{|\lambda_0|}u-\sqrt{|\lambda_1|}v\right)=0$$

y las soluciones están dadas por conectar $u=\mathbf{e_0p},v=\mathbf{e_1p}$ en los dos factores, el establecimiento de $y=1$ y la solución de las ecuaciones lineales de $x$.