Dejemos que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ con el término general $u_n=\frac {1+x^{n}}{1+x+x^{2}+...+x^{n+p-1}}$ , donde $x\ge0$ y $p \in \mathbb{N}$ . Sea $f(x)= \lim_{n\to\infty}u_n$ . Encuentra el dominio de diferenciabilidad y continuidad.
Primero intenté simplificar un poco $u_n$ usando la suma de la progresión geométrica y obtuve esto $$u_n=\frac{(1+x^{n})(x-1)}{x^{n+p}-1}.$$ Así que si $x \in (0,1)$ entonces $f(x)=1-x$ .
¿Qué debo hacer cuando $x = 1$ y $x>1$ ?
En primer lugar, creo que tienes un pequeño error en la fórmula de la suma de una progresión geométrica: el denominador debe ser $x^{n+p}-1$ no $x^{n+p\color{red}{-1}}-1$ .
Si $x=1$ se puede introducir literalmente en la expresión original para $u_n$ .
Si $x>1$ entonces dividamos el numerador y el denominador por $x^n$ : $$u_n=\frac{(1+x^n)(x-1)}{x^{n+p}-1}=\frac{\left(\frac{1}{x^n}+1\right)(x-1)}{x^p-\frac{1}{x^n}},$$ y observar que en este caso $1/x^n\to0$ como $n\to\infty$ .
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