¿Cómo se puede demostrar que si un espacio topológico discreto con m elementos es equivalente en homotopía a un espacio topológico discreto con n elementos, entonces m=n?
Así que estoy en un curso de introducción a la topología, no tengo ni idea de lo que acabas de decir :/
Cálculo de la homotecia zeroth establece de estos espacios no es más fácil que resolver el problema sin la maquinaria que el OP obviamente no tiene.
Sin esas palabras: Si se cuenta el número de componentes del camino, se obtiene que un espacio discreto con m elementos tiene exactamente m componentes del caminoy el número de componentes del camino es invariante bajo equivalencia de homotopía.
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De forma más general, las equivalencias de homotopía entre espacios totalmente desconectados son homeomorfismos.
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Lo primero que hay que hacer es demostrar que el único automapa de un espacio discreto con $n$ elementos que es homotópico a la identidad es la propia identidad.