Esta no es una respuesta completa a la pregunta "¿dónde está la finalización usa?": Sólo quiero dar un ejemplo de su utilidad. En la siguiente, trabajamos sobre $\mathbb{C}$.
Digamos que queremos clasificar a las singularidades de curvas: nuestra primera tarea sería la de entender que cuando dos singularidades son los mismos y cuando no lo son. Cómo hacerlo? Claramente, debemos utilizar una herramienta que nos permite mirar el comportamiento de la singularidad, es decir, cómo la curva parecer cerca del punto singular. Así, un primer intento podría definir dos singularidades en dos curvas a ser la misma cuando las coordenadas de los anillos de las curvas, que se localiza en los puntos singulares, son isomorfos. En realidad, esto no es una buena definición.
De hecho, las dos curvas de $C_1$$C_2$$\mathbb{C}^2$, respectivamente, definidos por los ideales $(y^3+y^2-x^2)$$(xy)$. Permítanme señalar que estas dos curvas no son isomorfos, como $C_1$ es irreductible, mientras que $C_2$ no lo es. Ahora, ambos tienen una singularidad en el origen, y por el dibujo de una imagen podemos ver de inmediato que los dos singularidades debe ser el mismo en nuestra clasificación, ya que cerca del origen de las dos curvas bastante parecidos. Pero si tomamos la localización de las coordenadas del anillo de $C_1$ $C_2$ cerca del origen, obtenemos dos no es isomorfo local anillos (uno de ellos es un dominio, el otro no).
Otro ejemplo evidente es dada por puntos regulares: claramente, en nuestro clasificaciones de las singularidades que nos gustaría tener en cuenta todos los puntos regulares en la misma clase de la singularidad, es decir, "no-singular". Pero de nuevo, si tomamos la localización de las coordenadas en el anillo de puntos regulares, en general vamos a obtener no isomorfos local de los anillos.
El punto es que la versión traducida de anillos nos dan información acerca de los locales comportamiento de la curva cerca del punto singular $\textit{in the Zariski topology}$, y los bloques abiertos de la topología de Zariski $\textit{are too big}$ a decirle lo que está sucediendo realmente cerca del punto singular. Si tomamos en lugar de $\mathbb{C}^2$ con la topología euclidiana en el ejemplo anterior, podemos encontrar una abierta barrio de el origen de tal manera que, dentro de él, las dos curvas de $C_1$ $C_2$ son topológicamente (y analíticamente) isomorfo.
La finalización es el algebraicas herramienta que nos permite analizar el comportamiento de la curva alrededor del punto "a nivel más local", a continuación, nos gustaría ser capaces de hacer con la localización, que sólo nos dice acerca de lo que está sucediendo alrededor del punto de acercarse a ella a través de más y más a $\textit{Zariski open neighborhoods}$. Y funciona! De hecho, la finalización de los locales anillos de $C_1$ $C_2$ alrededor del origen son tanto isomorfo a $\mathbb{C}[[x,y]]/(xy)$, lo que nosotros esperábamos. También, el Cohen estructura teorema nos dice que la finalización de el anillo local de una curva en un reguar punto siempre es isomorfo al anillo de poder formal de la serie en una variable $\mathbb{C}[[x]]$. Por lo tanto, ahora podemos definir dos singularidades de dos curvas a ser el mismo (más formalmente, analíticamente isomorfo) si el $\textit{completion}$ de la localización de las coordenadas de los anillos de las curvas en los puntos singulares son isomorfos. De esta manera, por lo que hemos observado antes, los dos singularidades de $C_1$ $C_2$ son el mismo, es decir, ambas son una $\textit{node}$, y regular los puntos son todos de la misma clase, es decir,$\textit{non-singular}$.
Ahora usted puede preguntarse por qué hemos introducido la finalización cuando sólo podríamos utilizar la topología euclidiana para definir las clases de singularidades. El punto aquí es que podemos ampliar esta definición para curvas definidas sobre un algebraicamente cerrado campo de $k$. En este contexto, no tienen más de una topología euclidiana y sólo podemos utilizar "de forma algebraica definida" nociones, como las terminaciones.
Un comentario final: como se dijo antes, la observación clave es que la topología de Zariski es demasiado $\textit{coarse}$ para determinados ámbitos. Una hermosa idea de la segunda mitad del siglo pasado fue la de considerar, en lugar de la topología de Zariski, el llamado $\textit{Grothendieck topologies}$. Estas no son las topologías en el sentido usual (pero habitual topologías son casos particulares de Grothendieck topologías) y son las herramientas adecuadas para el estudio de variedades algebraicas de una manera refinada . En particular, mediante la adopción de una determinada topología de Grothendieck llama $\textit{étale topology}$, que captura mucho más topológica de la información de las variedades algebraicas de la topología de Zariski, podemos hablar de la $\textit{étale neighborhood}$ de un punto. Algebraicamente, esto corresponde a la toma de una versión refinada de la finalización de un anillo local, es decir, su estricta henselization.
