Deje $g\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ (infinitamente diferenciable con soporte compacto), y vamos a $$\hat{g}(y)=\int_{-\infty}^\infty g(x)e^{-ixy}dx$$ Assume that $\hat{g}$ is in the Schwartz class. Prove that $$g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{g}(y)e^{ixy}dy$$
Podemos usar el resultado de que si $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ es una función periódica de período de $2L$, $$\hat{f}(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(y)e^{-in\pi y/L}dy\right)e^{i\pi nx/L}$$
Estoy tratando de seguir Steven Stadnicki's ayuda. Desde $g$ ha compacto apoyo, vamos a $N$ ser tal que $g(x)=0$ todos los $|x|>N$. Elija $L>N$, y deje $f_L(x)=g(x)$ $|x|\leq N$ y extender $f_L(x)$ periódica con período de $2L$ a todos los de $\mathbb{R}$.
Luego tenemos a $$\hat{f_L}(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \left(\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(y)e^{-in\pi y/L}dy\right)e^{i\pi nx/L}$$
Si me envían $L$$\infty$, en cierto sentido, tengo la función de $g$. Pero todavía estoy confundido como los coeficientes de Fourier de $f_L$ va a traducir a los coeficientes de $g$.
