Unión de dos conjuntos compactos totalmente desconectados en $\mathbb{R}$ está totalmente desconectado

Question

Estoy muy atascado con el siguiente problema. En primer lugar, la definición que tengo son los siguientes:

$X$ está totalmente desconectado si para todo $x\in X$ tenemos que $C_x=\{x\}$ donde $C_x$ es el componente conectado.

Dejemos que $A,B\subseteq\mathbb{R}$ sea un conjunto compacto y totalmente desconectado. Demostrar que $A\cup B$ también está totalmente desconectado.

Tenemos dos casos:

1) Si $A\cap B=\emptyset$ entonces, toma $x\in A\cup B$ y $C_x$ el componente conectado de $x$ . Porque $\mathbb{R}$ es normal y $A,B$ son dos conjuntos cerrados disjuntos (son compactos) entonces existe $U,V\subseteq\mathbb{R}$ conjuntos abiertos disjuntos tales que $A\subseteq U$ y $B\subseteq V$ . Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, porque $C_x$ está conectado, $C_x\subseteq U$ y por lo tanto $C_x\subseteq A$ . Concluimos que $C_x=\{x\}$ .

2) $A\cap B\neq\emptyset$ . Aquí es donde estoy atascado. Toma $x\in A\cup B$ y suponer por contradicción que $|C_x|\geq 2$ . Entonces, $C_x\not\subseteq A$ y $C_x\not\subseteq B$ (porque los conjuntos conectados en $A$ y $B$ tienen un solo punto) pero $C_x\cap A\neq\emptyset$ y $C_x\cap B\neq\emptyset$ . No sé cómo puedo concluir la prueba. ¿Alguna pista? Agradezco mucho cualquier ayuda que me puedan brindar.

Answer 1

En primer lugar, recordemos que un subconjunto de $\mathbb{R}$ es conectado si y sólo si es un intervalo. Lo mismo ocurre con los intervalos: un subconjunto de un intervalo es conexo si y sólo si es de nuevo un intervalo. Aquí entiendo por intervalo un subconjunto $I\subseteq\mathbb{R}$ de manera que si $a,b\in I$ y $a<c<b$ para algunos $c\in \mathbb{R}$ entonces $c\in I$ .

Supongamos que $A\cup B$ no está totalmente desconectado. Entonces $[a,b]\subseteq A\cup B$ para algunos $a,b\in A\cup B$ , $a<b$ . Sea $I=[a,b]$ .

Dado que ambos $A,B$ son compactos (en realidad cerrados en $\mathbb{R}$ es suficiente) entonces $I\cap A$ y $I\cap B$ están cerradas. Ambos son no vacíos y su unión es $I$ y así podemos reformular el problema:

Demuestre que un intervalo cerrado $I=[a,b]$ , $a<b$ no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos no vacíos, cerrados y totalmente desconectados.

Dejemos que $I=A\cup B$ . Ambos subconjuntos tienen que ser adecuados, de lo contrario no estarían totalmente desconectados. Dado que $A$ está cerrado, entonces $I\backslash A$ está abierto en $I$ . Así, $I\backslash A\subseteq B$ y así $B$ no está totalmente desconectado porque contiene un subconjunto abierto de $I$ (que contiene un intervalo por definición). Contradicción.