Equivalencia de dos relaciones que $\pi(x)$ y $\vartheta(x)$

Question

En Apostol del libro Introducción a la Teoría Analítica de números, tenemos el siguiente ejercicio

4.18. Probar que las siguientes dos relaciones son equivalentes: \begin{align*} \text{(a)} \quad \quad & \pi(x)=\frac{x}{\log x}+O \left( \frac{x}{\log^2 x} \right).\\ \text{(b)} \quad \quad & \vartheta(x)=x+O \left( \frac{x}{\log x} \right). \end{align*}

donde $\pi(x)$ es, por supuesto, la primer función de conteo, y $\vartheta(x)$ es Chebychev función del $\sum_{p \le x} \log p$.

No acabo de entender lo de "equivalente" que se supone que significa en este contexto, y pensé en saltar este ejercicio en particular, pero supongo que sería un mal hábito de saltarse todas las preguntas que no entiendo (sobre todo desde que estoy auto-estudio). Así que mi esperanza es que alguien quisiera que me ayudara a aclarar esto.

Answer 1

Tal vez esto podría ayudar. Tenga en cuenta que yo uso $\ln x$ para el logaritmo natural.

Supongo que alguien vendrá con la solución sin usar de Chebyshev de las desigualdades. Tal vez usted podría especificar en la pregunta, si usted está autorizado a utilizar en este ejercicio (es decir, si de Chebyshev de las desigualdades, se probó en el libro antes de este ejercicio).

---

Lema. $$\pi(x)\sim \frac{\vartheta(x)}{\ln x}$$

Prueba. Claramente $\vartheta(x)= \sum\limits_{p\leq x} \ln p \leq \sum\limits_{p\leq x} \ln x = \pi(x) \ln x$. Esto implica $$\frac{\vartheta(x)}{\pi(x)\ln x} \leq 1.$$

Ahora vamos a $x\geq 2$$0<\varepsilon<1$. Entonces tenemos $$ \vartheta(x) \geq \sum_{x^{1-\varepsilon} < p \leq x} \ln p \geq (1-\varepsilon) \ln x (\pi(x)-\pi(x^{1-\varepsilon})) \geq (1-\varepsilon) \ln x (\pi(x)-x^{1-\varepsilon}). $$ Este rendimientos (utilizando uno de Chebyshev de las desigualdades) $$\frac{\vartheta(x)}{\pi (x) \ln x } \geq (1-\varepsilon)\left(1 - \frac{x^{1-\varepsilon}}{\pi(x)}\right) \geq (1-\varepsilon)\left(1 - \frac{x^{1-\varepsilon}\ln x}{c_2x}\right)$$ para algunas constantes $c_2$.

Si tomamos el límite de $x\to\infty$ tenemos $$\liminf_{x\to\infty} \frac{\vartheta(x)}{\pi(x) \ln x} \geq 1-\varepsilon.$$ Desde $\varepsilon$ cen ser elegido arbitrariamente pequeño, obtenemos $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\vartheta(x)}{\pi(x) \ln x} = 1.$$

Answer 2

"Equivalentes" significa que usted puede demostrar que (a) implica (b), e implica que (b) (a), con mucho menos esfuerzo que lo lleva a probar cualquiera de los dos (a) o (b).

En este caso particular, me imagino que está previsto utilizar suma parcial para derivar cada uno del otro.