Soluciones a ecuaciones diferenciales estocásticas.

Question

Estoy en un poco de problemas con mi tarea y quisiera saber si alguien podría ayudarme a encontrar las soluciones a estas dos ecuaciones diferenciales estocásticas. ¡Realmente lo agradeceria! ¡Gracias de antemano! :)

\begin{cases} dX_t= \frac{b-X_t}{1-t}dt + dW_t\newline X_0 = a \in \mathbb R \end{casos} donde $b$ es una constante real.

\begin{cases} dY_t=\frac{1}{Y_t}dt + \alpha Y_tdW_t \newline Y_0=y \in \mathbb R^++ \end{casos} donde $a$ es una constante real.

Verificar que los procesos sean afines

Answer 1

SUGERENCIA Para el elemento 1: Utilizar el lema de Ito para comprobar que $$ \mathrm{d} \left( \frac{X_t-b}{1-t} \right) = \frac{1}{1-t} \mathrm{d} W_t $$

SUGERENCIA para el punto 2: a Ver si esta respuesta de la mina de ayuda. Pero también creo que si que podría coincidir con las constantes de modo que la siguiente expresión no tiene ningún componente de difusión: $$ \mathrm{d}\left( Y_t^2 \exp\left( \lambda t + \mu W_t \right) \right) $$