Me gustaría calcular, al menos, un par de dígitos de precisión, las constantes que surgen en Hardy-Littlewood conjetura F / Bateman-Cuerno conjetura, en particular, por tan solo un polinomio cuadrático.
Específicamente, considere la posibilidad de (por ejemplo) el siguiente número, que surge cuando el estudio de los números primos en el polinomio $n^2 + n + 1$:
$$ \begin{align} C_{1} &= \frac{2}{1} \frac{2}{2} \frac{5}{4} \frac{5}{6} \frac{11}{10} \frac{11}{12} \frac{17}{16} \frac{17}{18} \frac{23}{22} \frac{29}{28} \frac{29}{30} \frac{35}{36} \frac{41}{40} \cdots \\ &= \prod_{p \equiv 1 \pmod3}\left(\frac{p - 2}{p - 1}\right) \prod_{p \equiv 2 \pmod3}\left(\frac{p}{p - 1}\right) \\ &= \prod_{p \equiv 1 \pmod3}\left(\frac{1 - 2/p}{1 - 1/p}\right) \prod_{p \equiv 2 \pmod3}\left(\frac{1}{1 - 1/p}\right) \\ \end{align}$$ donde los productos que se pase por encima de todos los números primos que dejar resto $1$ $2$ cuando se divide por $3$, respectivamente. (Nota: realmente no podemos escribir como dos separados infinito productos; el orden de los asuntos, así que la excusa de la notación.)
Ahora, si yo trato de calcular esta el ingenuo manera:
#include <cstdio>
#include "FJ64_16k.h" // For a fast `is_prime` function: http://ceur-ws.org/Vol-1326/020-Forisek.pdf
int main() {
double ans = 0.5;
for (uint64_t p = 0; ; ++p) {
if (p % 1000000 == 0) {
printf("%lld %.9f\n", p, ans);
}
if (!is_prime(p)) continue;
if (p % 3 == 1) ans *= (p - 2.0) / (p - 1.0);
if (p % 3 == 2) ans *= p / (p - 1.0);
}
}
Entonces, incluso después de la computación con los números primos hasta 100 millones, que parecen tener sólo tienen alrededor de cuatro dígitos decimales de precisión:
99000000 1.120724721
100000000 1.120725012
101000000 1.120727310
Para otro ejemplo, si empezamos con el polinomio $n^2 + 5n + 1$ (discriminante $21$), entonces tenemos que calcular (algo así como) la constante $$C_2 = \prod_{p \en P_1 \cap Q_1 \copa P_2 \cap Q_2} \frac{(p-2)}{(p-1)} \prod_{p \en P_1 \cap Q_2 \copa P_2 \cap Q_1} \frac{p}{(p-1)} $$ donde $P_1 = \{p \equiv 1 \pmod 3\}$, $P_2 = \{p \equiv 2 \pmod 3\}$, $Q_1 = \{p \equiv \text{$1$, $2$, or $4$}\pmod 7\}$, $Q_2 = \{p \equiv \text{$3$, $5$ or $6$}\pmod 7\}$ lo que es más complicada: hacer una cosa para $p \equiv 1, 4, 5, 16, 17, 20\pmod 21$ y otro para $p \equiv 2, 8, 10, 11, 13, 19$.
Pregunta: ¿Cómo podemos calcular estas constantes razonablemente rápido?
He visto las preguntas relacionadas con MathOverflow, y trató de leer sus respuestas y algunas de las mencionadas referencias:
El cálculo de la infinita producto de la Hardy-Littlewood Conjetura F (2010)
El cálculo de la constante en la Bateman-Horn-Stemmler conjetura (2011)
De alta precisión de cálculo de Hardy-Littlewood constantes (DVI) de Henri Cohen
Algunas Constantes de la Teoría de los números (2001?) (PS) por Pascal Sebah y Xavier Gourdon
La aproximación de la singular serie y autómatas (2001), de Pieter Moree
Nueva polinomios cuadráticos con altas densidades de prime valores (2003), por Jacobson y Williams
Polinomios cuadráticos que tienen una Alta Densidad de Prime Valores (1990) por Fung y Williams
En la Conjetura de Hardy Y Littlewood, en relación con el Número de números Primos de la $n^2 + a$ (1960), por los Mangos
Datos complementarios y observaciones relativas a la una de Hardy-Littlewood conjetura (1963), por los Mangos
El cálculo de algunos de Dirichlet de la serie (1963), por los Mangos y Llave
Nota sobre el número de números primos de la forma $n^2 + 1$ (1922) por A. E. Occidental
Algunos de los problemas de 'I numerorum'; III: Sobre la expresión de un número como una suma de números primos (1923), Hardy y Littlewood (la fuente de Conjeturas F)
Pero los papeles tomar un buen montón de esfuerzo para que me siga (nunca he encontrado de Dirichlet de la serie L de antes, por ejemplo), y yo sigo sospechando que debe haber algo más sencillo, si no nos queremos tanto. (El más viejo de los trabajos son más simples, pero de Western papel dice simplemente "por el uso de una transformación sugerida por el Señor Littlewood," sin una referencia o explicar cualquier cosa.) En particular, no me importa llegar a miles de dígitos, voy a ser feliz si puedo conseguir, digamos de seis (diez sería fantástico). (O incluso 4 dígitos, si pueden ser calculadas de forma mucho más rápida.) Y no me importa acerca de la informática de la serie que se deriven de los realmente grandes números; como el $3$ $7$ en el segundo ejemplo anterior podría tener a más de dos dígitos de los factores.
Con estos perdedor de restricciones, ¿hay algo más simple que basta, para calcular estas constantes? Lo que estoy buscando es:
- idealmente, un método de cálculo con el suficiente detalle, y que puede ser traducido en un par de líneas de código que se calcula a partir de cero (como en el programa anterior) (después de una cierta cantidad razonable de trabajo sobre el papel si es necesario),
- o, lo mismo, pero está bien depender de ciertas constantes (como $\zeta(2)$ dicen) que sólo puedo mirar hacia arriba y el disco duro de código en el programa, o en algunas de las funciones existentes (tales como la logarítmica integral decir), si son bien conocidas las funciones comúnmente disponibles (en bibliotecas de software que son fáciles de instalar o tener una interfaz en línea).
Estoy buscando una escuela primaria de la exposición a nivel de pregrado, dicen. Por ejemplo, la respuesta por KConrad tiene sentido (aunque no está claro cómo de buena es la convergencia es), pero no sé cómo calcular $L(1,\chi_D)$.
