Conservación de martingala bajo ampliación independiente de la filtración

Question

Creo que esto es probablemente una pregunta muy fácil, pero no he trabajado con $\sigma$-álgebras en profundidad por un largo tiempo ahora, así que estoy encontrando a mí mismo un poco oxidado. Estaría muy agradecido si alguien me podría dar una (con cuidado) la prueba de la siguiente (estoy bastante seguro de que es cierto!). Supongo que me estoy perdiendo el camino correcto de la caracterización de los elementos de la combinación de dos $\sigma$-álgebras de forma adecuada.

Deje $M_t$ ser una martingala con respecto a la filtración $\mathcal{F}_t$ en algunas de probabilidad espacio de $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Suponga que $\mathcal{G}_t \subseteq \mathcal{F}$ donde para cada $t \geq 0$, $\mathcal{G}_t$ es independiente de $\mathcal{F}_t$ y deje $\mathcal{H}_t := \mathcal{F}_t \vee \mathcal{G}_t$. A continuación, $M_t$ también es una martingala con respecto a $\mathcal{H}_t$.

Gracias!

Answer 1

Condición de integrabilidad se verifica ya, así que sólo tenemos que comprobar que todos $s\leqslant t$, $$E[M_t\mid \mathcal F_s\vee\mathcal G_s]=M_s.$ $ Let $\mathcal B:={F\cap G,F\in \mathcal F_s,G\in \mathcal G_s }$. Es un $\pi$-sistema que genera el $\mathcal F_s\vee\mathcal G_s$. El conjunto de elementos $B$ $\mathcal F$ tal que $\int_B M_tdP=\int_BM_sdP$ es un $\lambda$-sistema. Tan solo tenemos que mostrar de todos los $F\in\mathcal F_s$, $G\in\mathcal Gs$, contamos con % $ $$\int{F\cap G}MtdP=\int{F\cap G}M_sdP.$$\mathcal F_t$es independiente del $\mathcal G_t$, es también independiente del $\mathcal G_s$. Concluir con el hecho de que $M_t\chi_F$ $\mathcal F_t$ medibles.