El lema de Riesz dice lo siguiente: Sea $X$ sea un espacio vectorial normado y $Y$ un subespacio cerrado propio de $X$ . Escoge $\alpha \in (0,1)$ . Entonces $\exists x\in X$ tal que $|x|=1$ y $d(x,y) \geq \alpha$ para todos $y \in Y$ .
Estoy investigando por qué no podemos tomar $\alpha=1$ en general. Wikipedia dice "el espacio $l^\infty$ de todas las secuencias acotadas muestra que el lema no se cumple para $\alpha = 1$ ". Creo que hay un ejemplo sencillo pero no veo qué tomar como $Y$ ... Entonces, ¿cuál es exactamente el ejemplo (es decir $Y$ )?
Editar: Es una lástima que la Wikipedia enuncie el lema con la versión $>\alpha$ . Con esta versión, no necesito el espacio específico de $l^\infty$ para demostrar que el lema no se cumple para $\alpha = 1$ . Dejemos que $X$ sea cualquier espacio vectorial normado, y tomar cualquier $x$ con $|x|=1$ . Entonces $\inf_{y\in Y} d(x,y) \leq d(x,0) = 1$ .
Como señaló Bombyx, $l^\infty$ no es reflexivo por lo que debería haber un ejemplo para la versión que he planteado del Lemma de Riesz. Desde que Wikipedia planteó $l^\infty$ Estaba pensando que tal vez haya una prueba constructiva (sencilla) para este ejemplo. Por lo tanto, estaba preguntando si alguien tiene alguna idea sobre lo que $Y$ debería ser.
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Para una construcción explícita, véase mi post aquí math.stackexchange.com/questions/2331546/