¿Nosotros podemos componer tétradas para representar métricas con muchas fuentes?

Question

Me he tomado a la visualización de tétradas como transformaciones lineales de la Minkowskian métrica para algunos la curvatura del espacio. Aunque realmente estoy usando esto como un dispositivo a la imagen de su acción (como se puede ver en el pasivo o activo diffeomorphic sentido).

En el intento de ver de esta manera, me parece importante tener en cuenta la métrica $g_{\mu\nu}$ utilizando el mismo sistema de coordenadas como el Minkowskian una $\eta_{ab}$. Esto es sólo para asegurarse de que su no es una ocultos de transformación de coordenadas dentro de la tetrad oscureciendo es una acción real sobre la métrica.

Por ejemplo, se suele escribir el tensor métrico uso de tétradas como:

$$g_{\mu\nu}=e_{\mu}^{a}\eta_{ab}e_{\nu}^{b}$$ Supongamos que queremos representar la Schwarschild solución de vacío (centrados en torno al origen), esto sería normalmente se expresa como:

$$\left[\begin{array}{cccc} -(1-r_{s}/r) & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-r_{s}/r)^{-1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & r^{2}sin^{2}(\theta) \end{array}\right]=e(\overrightarrow{r})\left[\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]e'(\overrightarrow{r})$$

Donde $e(\overrightarrow{r})$ es nuestro 4x4 tetrad. Está claro que hay una cartesianas a esféricas de transformación de coordenadas que está latente en nuestro tétradas. Tan sólo para aclarar, estoy optando para absorber el cambio de coordenadas en nuestra métrica de minkowski (la razón de ser claras pronto) como:

$$\left[\begin{array}{cccc} -(1-r_{s}/r) & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-r_{s}/r)^{-1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & r^{2}sin^{2}(\theta) \end{array}\right]=e(\overrightarrow{r})\left[\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & r^{2}sin^{2}(\theta) \end{array}\right]e'(\overrightarrow{r})$$

Ahora bien, si tenemos otro idéntico origen centrado en el punto de $\overrightarrow{a}$, que si se aíslan sería idéntico al de Schwarschild solución estoy tentado de escribir:

$$g=e(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})e(\overrightarrow{r})\left[\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & r^{2}sin^{2}(\theta) \end{array}\right]e'(\overrightarrow{r})e'(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})$$

En otra palabras, yo sólo soy la aplicación de una transformación lineal (traducido a estar centrada en el punto representado por $\overrightarrow{a})$ una vez más a la métrica. (Debería estar claro ahora por qué me tenía que quitar el cambio de coordenadas).A continuación, el total de tetrad está dada por la composición de los dos:

$$e=e_{1}e_{2}$$

Puede usted realmente hacer esto? Básicamente estoy tomando una página de la mecánica cuántica para multiparticle estados. Sería este trabajo como una aproximación no conozco a nadie. Estoy seguro de que hay algunos acoplamiento términos que faltan? Esta idea llega muy naturalmente en la transformación lineal tipo de vista de tétradas.

De todos modos, pensé que podría ser útil y que no había visto tétradas compuesto, como que antes. Los índices parecer un poco extraño aquí, pero estoy más interesado en la forma física de la métrica.

Básicamente: ¿se puede componer de tétradas juntos para obtener muchos de cuerpo métrica soluciones?

Addendum:

Así que si queremos componer los dos los dos tétradas como se mencionó anteriormente, obtenemos:

$$g=\begin{array}{cccc} -(1-r_{s}/|\overrightarrow{r}|)(1-r_{s}/|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})| & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-r_{s}/|\overrightarrow{r}|)^{-1}(1-r_{s}/|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}|)^{-1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & r^{2}sin^{2}(\theta) \end{array}$$

Que por cierto parece extraño, pero cuando nos gráfico de decir la $g_{00}$componente vs $r$ por ejemplo, tenemos: Que es para $r_{s}=0.3$ e $a=1$. El rojo es para los dos tétradas compuesto, mientras que el verde se obtuvo simplemente la superposición de dos Schwarschild métricas (como Slereah se menciona en los comentarios). Yo estaría muy curioso saber que tan buena de una aproximación que es esto.

Considerar lo fácil que es manipular a una métrica como este. Podríamos aplicar la tetrad a la métrica de Minkowski

$$g_{scharschild}=e\eta e'$$

Luego dicen que traducir (T) de distancia desde el origen:

$$\Longrightarrow Te\eta e'T'$$

Lorentz impulso que $\Lambda$ en algunos de dirección:

$$\Longrightarrow\Lambda Te\eta e'T'\Lambda'$$

agregar otro idéntico Schwarschild fuente:$$\Longrightarrow e\Lambda Te\eta e'T'\Lambda e'$$ , a continuación, decide regresar al origen y original marco de Lorentz:

$$g=\left(T^{-1}\Lambda^{-1}e\Lambda T\right)e\eta e'\left(T'\Lambda e\Lambda^{-1}T^{-1}\right)$$

Ahora nuestra métrica tiene un Schwarschild origen en el origen, y otro idéntico origen de exceso de velocidad en algunos arbitraria dirección determinada por nuestra $\Lambda$.

Ahora todos nuestros transformaciones son de Mentira de los elementos del grupo, de modo que si escribimos en la forma exponencial, yo esperaría que los términos de orden superior como:

$$e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+etcetera}$$

La que probablemente sería la fuente de cualquier error aquí? Esto parece muy adecuado para equipo de modelado de estos sistemas, ¿es esta la forma de los chicos?

Answer 1

Este Ansatz composición generalmente será precisa sólo en el primer post-Minkowski orden, es decir, para las regiones del espacio-tiempo donde podemos encontrar las coordenadas tales que $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} \,,$$ donde alguno de los componentes de la métrica de la desviación $h_{\mu\nu} \ll 1$ y por lo tanto, cualquier descuido $\mathcal{O}(h^2)$ términos. Una característica importante de esta teoría es que si tenemos dos soluciones separadas de la lineal la ecuación de Einstein para la métrica de la desviación $h^{(1)}_{\mu\nu}, \, h^{(2)}_{\mu\nu}$, a continuación, $h^{(1)}_{\mu\nu} + h^{(2)}_{\mu\nu}$ es también una solución de (con fuentes superpuestos).

Ahora, considere el hecho de que cualquier ortonormales tetrad para $g^{(i)}_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h^{(i)}_{\mu\nu}$ ($i=1,2$ etiquetas de las dos soluciones) debe estar en la forma $$e^{(i)a}_\mu = \Lambda^a_b (\delta^b_\mu + \chi^{(i)b}_\mu)$$ donde es fácil mostrar que $2\delta^a_\nu\chi^{(i)b}_\mu\eta_{ab} = h^{(i)}_{\mu\nu}$ y podemos simplemente escribir $\chi^{(i)b}_\mu = h^{(i)b}_{\;\;\;\;\mu}$. Ahora es fácil ver que $$e^{(1)\mu}_\kappa e^{(2)a}_\mu \eta_{ab} e^{(2)b}_\nu e^{(1)\nu}_\lambda = \eta_{\lambda \kappa} + h^{(1)}_{\lambda \kappa} + h^{(2)}_{\lambda \kappa} + \mathcal{O}(h^2)\,.$$ Sin embargo, esto es lo más lejos se va.

Una sintomática problema que surge cuando se superpone dos gravitando fuentes es el hecho de que las ecuaciones de Einstein "saber" si el resultado de este sistema está en equilibrio o no. Si no lo es, las ecuaciones de Einstein hacer en equilibrio por defectos topológicos en el espacio-tiempo, normalmente llamado struts o cadenas que "el apoyo" de las fuentes. Es una característica que surge sólo por la "interacción" de las dos soluciones originales y no es ciertamente presente en cualquiera de ellos individualmente. Estos efectos surgen ya en cuadrática post-Minkowski orden, y desde el "tetrad la composición de" proponer, no se producen estos defectos, no puede ser válido más allá de la primera post-Minkowski orden.

Si quieres echar un vistazo a algunos de los espacio-tiempos donde algo como una superposición de fuentes es posible (por lo general en el nivel de algunos potenciales), entonces le recomiendo a retirar el Weyl métricas, o el Majumdar-Papapetrou soluciones, especialmente la manera en que se examinaron en Hartle Y Hawking (1972).

Answer 2

Esta no es una respuesta directa a su pregunta de dos fuentes, pero es un comentario sobre su idea de Schwarzschild ser una transformación lineal de la métrica de Minkowski. La idea de un gravitacional fuente causando una transformación lineal también parece funcionar de ondas gravitacionales (GWs) que parecen hacer una transformación lineal (cepa) de la métrica de Minkowski. $$ g_{\mu\nu}=e_{\mu}^{a}\eta_{ab}e_{\nu}^{b} $$ $$ \left[\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1+2h_{+} & 2h_{X} & 0\\ 0 & 2h_{X} & 1-2h_{+} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1+h_{+} & h_{X} & 0\\ 0 & h_{X} & 1-h_{+} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1+h_{+} & h_{X} & 0\\ 0 & h_{X} & 1-h_{+} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Inherente en la idea de que la transformación puede ser activa o pasiva (es decir: transformar el sistema métrico o el lejano observador por la transformación inversa), es que la transformación actúa sobre todos los objetos en la región afectada (por ejemplo: las coordenadas de los vectores $dx^{\nu}$ y fotones impulso vectores $k^{\mu}$). El cambio de fase a lo largo de un fotón de la ruta del es $d\phi = g_{\mu\nu} k^{\mu} dx^{\nu}$ transforma como un escarificador bajo la GW de transformación y por lo tanto no se modifica por la GW. Si $dx^{\nu}$ es la de coordinar la distancia entre dos espejos cualquiera de los dos brazos de un interferómetro de Michelson, entonces, la última patrón de interferencia se mantuvo sin cambios por un GW....contrario a la GW detecciones reclamado por LIGO.

Aviso de que si el GW transformación fue considerada como pasiva y a la inversa hecho a la medida de distancia del observador, por supuesto, no debemos esperar a que el observador vea el patrón de interferencia para el cambio!

Su ingeniosa idea de que la gravedad no lineal Mentira Grupo de transformación que actúa sobre todos los objetos en la región de la GW y puede ser activa o pasiva, creo que los conflictos con la idea de que LIGO puede detectar GWs.