Encontrando la serie de Laurent (números complejos)

Question

Tengo $$ f(z)={\frac{1}{z(1-z)}} $$ Necesidad de encontrar el de la serie de Laurent alrededor de $z=0, z=1, z=\infty$. Yo lo hice $$ {\frac{1}{z(1-z)}} = {\frac{A}{z}}+{\frac{B}{1-z}} $$ y encontré $A=1, B=1$. Por lo tanto, tenemos $$ {\frac{1}{z}}+{\frac{1}{1-z}} = {\frac{1}{z}} + \sum z^n $$ Pero en el libro es la respuesta sólo para $z=0$. ¿Cómo debo encontrar las respuestas para las otras dos? Gracias.

Answer 1

Sugerencias :

Para el $z=1$ caso :

Usted necesita para crear términos de la forma $z-1$. Puede manipular su fracción de descomposición que ya se llevan a cabo, como :

$$f(z) = \frac{1}{z(1-z)} = \frac{1}{z} + \frac{1}{1-z} = \frac{1}{1+(z-1)} + \frac{1}{1-z} $$ $$=$$ $$\frac{1}{(z-1)\left(\frac{1}{z-1} + 1\right)} - \frac{1}{z-1} = \frac{1}{z-1}\left(\frac{1}{\frac{1}{z-1} + 1}\right)$$

Ahora, es el recuerdo de la serie geométrica $\frac{1}{1+w} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^nw^n$. Deje $w = \frac{1}{z-1}$. Por lo tanto :

$$f(z) = \frac{1}{z-1}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\frac{1}{z-1}\right)^n =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left(\frac1{z-1}\right)^{n+1}$$

Para el $\infty$ caso :

Recordar la serie geométrica $\frac{1}{1-w} = \sum_{n=1}^\infty w^{n}$ cuando $|w| <1$. Así, por $|z| > 1$, podemos escribir :

$$f(z) = \frac{1}{z(1-z)}= -\frac{1}{z^2(1-\frac{1}{z})}=-\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n-2}$$

Alternativa : Dejar $w = 1/z$ y calcular el Laurent Serie de $w =0$ , lo que sucede cuando $z \to \infty$.

Answer 2

En el anillo $1<|z|<\infty$ , tenemos

$$ \begin{align} \frac{1}{z(1-z)}&=\frac{1}{z}+\frac1{1-z}\\\\ &=\frac{1}{1+(z-1)}+\frac1{1-z}\\\\ &=\frac1{z-1}\frac{1}{1+\frac1{z-1}}-\frac1{z-1}\\\\ &=\frac1{z-1}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\frac{1}{z-1}\right)^n-\frac1{z-1}\\\\ &=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\left(\frac1{z-1}\right)^{n+1} \end {align} $$

Answer 3

Tenemos $$ \eqalign{ & {1 \over {z\left( {1 - z} \right)}} = \cr & = \left\{ \matriz{ - \left( {{1 \over z} + {1 \over {\left( {1 - z} \right)}}} \right)\quad \Rightarrow \quad - {1 \over z} - \sum\limits_{0\, \le \,n} {z^{\n} } \quad \left| {\z \to 0} \right. \hfill \cr {1 \over {\left( {z - 1} \right)}} - {1 \over {\left( {1 + \left( {z - 1} \right)} \right)}}\quad \Rightarrow \quad {1 \over {\left( {z - 1} \right)}} - \sum\limits_{0\, \le \,n} {\left( { - 1} \right)^{\n} \left( {z - 1} \right)^{\n} } \quad \left| {\z \1} \right. \hfill \cr - \left( {{1 \over z}} \right)\left( {1 - {1 \over {\left( {1 - {1 \over z}} \right)}}} \right)\quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{0\, \le \,n} {\left( {{1 \over z}} \right)^{\,n + 2} } \quad \left| {\z \to \infty } \right. \hfill \cr} \right. \cr} $$