Problema
La secuencia de $(a_n)_{n=1}^\infty$ está dada por la relación de recurrencia:
- $a_1=\sqrt2$,
- $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$.
Evaluar el límite de $\lim_{n\to\infty} a_n$.
Solución
- Mostrar que la secuencia de $(a_n)_{n=1}^\infty$ es monótona. La declaración de $$V(n): a_n < a_{n+1}$$ tiene por $n = 1$$\sqrt2 < \sqrt{2+\sqrt2}$. Supongamos que esta declaración tiene por $n$ y muestran que $V(n) \implies V(n+1)$. Tenemos que $$a_n < a_{n+1}.$$ Adding 2 to both sides and taking square roots, we have that $$\sqrt{2+a_n} < \sqrt{2+a_{n+1}},$$ that is $a_{n+1} < a_{n+2}$, por definición.
- Encontrar los límites para la $a_n$. La declaración de $$W(n): 0 < a_n < 2$$ holds for $n=1$, that is $0 < \sqrt2 < 2$. Let us assume the statement holds for $n$ and show that $W(n) \implica W(n+1)$. We have that $$0 < a_n < 2.$$ Adding two and taking square roots, we have that $$0 < \sqrt2 < \sqrt{2+a_n} < \sqrt4 = 2.$$
- El límite de $\lim_{n\to\infty} a_n$ existe, porque $(a_n)_{n=1}^\infty$ es un delimitada monótona secuencia. Deje $A = \lim_{n\to\infty} a_n$.
- Por lo tanto, el límite de $\lim_{n \to\infty} a_{n+1}$ existe y $\lim_{n \to\infty} a_{n+1} = A$. (Para$(n_k)_{k=1}^\infty = (2,3,4, \dots)$, $(a_{n_k})_{k=1}^\infty$ es una larga de $(a_n)_{n=1}^\infty$, a partir de la cual la declaración de la siguiente.)
- Tenemos que $a_{n+1} = f(a_n)$. Eso significa que $A = \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} {f(a_n)} = f(\lim_{n \to\infty} a_n) = f(A) = \sqrt{2 + A}$. La solución de la ecuación de $A = \sqrt{2 + A}$, obtenemos $A = -1 \lor A = 2$.
- Poniendo todo junto, tenemos que $A = 2$, debido a que los términos de la secuencia están aumentando y $a_1 > 0$.
Es mi solución correcta?
