Permutaciones con repetición (ejemplo)

Question

Asumir una caja que contiene a$20$ bolas de colores.

\begin{align} &-Red: 2 \\ &-Blue: 1 \\ &-White: 4 \\ &-Orange: 3 \\ &-Black: 5 \\ &-Yellow: 2 \\ &-Green: 3 \end{align} Las posibles maneras de poner todos los $20$ están en orden: $$ N_{20}=\frac{20!}{2!1!4!3!5!2!3!} $$ Sin embargo, ¿qué pasa si queremos recoger sólo la $5$ y ponerlos en orden? Traté de recoger ordenó grupos de $5$ de $20$ , pero terminó la doble contabilización. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Estrategia

Observe que $5$ puede ser dividido en las siguientes maneras. \begin{align*} 5 & = 5\\ & = 4 + 1\\ & = 3 + 2\\ & = 3 + 1 + 1\\ & = 2 + 2 + 1\\ & = 2 + 1 + 1 + 1\\ & = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \end{align*} Esto nos permite considerar los casos.

Cinco bolas de un color: debemos seleccionar las bolas negras, a continuación, rellene todos los cinco posiciones con ellos.

Cuatro bolas de un color y una bola de un color diferente: Tenemos dos opciones para el color a utilizar para los cuatro bolas del mismo color. Elegir cuatro de las cinco posiciones para ese color. Elegir uno de los otros seis colores para llenar el resto de la posición.

Tres bolas de un color y dos bolas de un color diferente: Tenemos cuatro opciones de color que va a utilizar para las tres bolas del mismo color. Elige tres de las cinco posiciones para ese color. No importa el color que hemos utilizado, nos quedamos con cinco opciones para el color que desea utilizar para los dos bolas del mismo color. Las bolas deben llenar los dos restantes posiciones.

Tres bolas de un color y una bola de cada uno de los otros dos colores: Tenemos cuatro opciones de color que va a utilizar para las tres bolas del mismo color. Elige tres de las cinco posiciones para ese color. Eso nos deja con seis colores para elegir, el resto de los colores. Organizar esos dos pelotas en los dos restantes posiciones.

Dos bolas cada uno de los dos colores y una bola de uno de los otros colores: Tenemos seis opciones para que los colores a utilizar para los dos pares de bolas del mismo color. Elija dos de las cinco posiciones para el color seleccionado que aparece en primer lugar en una lista por orden alfabético. Elija de los restantes tres posiciones para el otro color seleccionado. Elegir uno de los otros cinco colores para llenar el resto de la posición.

Dos bolas de un color y una bola de cada uno de los otros tres colores: Tenemos seis opciones de color que va a utilizar para el par. Elija dos de las cinco posiciones para ese color. Elige tres de las seis restantes colores. Organizar los tres pelotas en los tres restantes posiciones.

Una bola de cada uno de los cinco colores: Elige cinco de los siete colores. Organizar los cinco distintos bolas en las cinco posiciones.

Answer 2

Bien, aquí tenemos 20 bolas que no son idénticos (por medio de color) y desea escoger sólo 5 de ellos, el orden y averiguar en cuántas maneras en que podemos hacer que si sí . De hecho, es un problema muy grande cuando usted escoge 5 de 20 también estamos considerando la probabilidad de recoger las bolas (de diferentes colores). Así que tenemos que considerar la probabilidad de escoger un color rojo, azul, blanco, naranja, negro, amarillo, verde, que va a llegar a ser muy complejo y se separaron, finalmente, en muchos de los casos. Necesitamos a fin de que ellos después de esto en el fin de encontrar la respuesta a su pregunta !!

[edit]: o, ya que el comentario sugiere también puede utilizar exponencial en la generación de funciones para resolver esta en un camino más fácil