Una prueba del teorema de Rolle generalizado

Question

¿Puede alguien criticar mi prueba?

Problema

Teorema de Rolle generalizado Dejemos que $f(x)$ sea diferenciable sobre $(-\infty,+\infty)$ y $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=l$ . Demostrar que existe $\xi \in (-\infty,+\infty)$ tal que $f'(\xi)=0.$

Prueba

Considera la demostración por contradicción. Si la conclusión no es verdadera, entonces $\forall x \in \mathbb{R}:f'(x)\neq 0$ . Así, por el Teorema de Darboux, $f'(x)$ no puede cambiar su signo, en otra palabra, $f'(x)$ es siempre positivo o siempre negativo.

Sin pérdida de generalidad, suponemos que $f'(x)>0$ entonces $f(x)$ es estrictamente creciente. Es obvio que $$\inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)=\lim_{x \to -\infty}f(x),~~~\sup_{x \in \mathbb{R}} f(x)=\lim_{x \to +\infty}f(x).$$ Por lo tanto, $$l=\inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)<f(x)<\sup_{x \in \mathbb{R}} f(x)=l,$$ lo cual es absurdo. La prueba se ha completado.

Answer 1

La prueba es sólida. Sin embargo, tengo algunos comentarios (como hago frecuentemente):

1. Usted dice: "Es obvio que...". Aunque estoy de acuerdo en que la siguiente conclusión es bastante obvia, a nivel de un curso de introducción al análisis real, hay algunos pasos que muchos estudiantes no serían capaces de completar. Entiendo que se omitan los pasos por razones de brevedad, pero yo recomendaría tener claro cómo ampliarías la prueba aquí, y si esta prueba se presenta para una evaluación, cómo convencerías al evaluador de que sabes de lo que estás hablando.

2. La línea $$l=\inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)<f(x)<\sup_{x \in \mathbb{R}} f(x)=l$$ podría mejorarse para decir $$l=\inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)\le f(-1) < f(0)< f(1) \le \sup_{x \in \mathbb{R}} f(x)=l.$$ Para que la línea original tenga sentido, habría que seguirla con un "para todos $x \in \mathbb{R}$ ", lo que haría que el $\sup$ y $\inf$ mal formado. Podría considerar la posibilidad de sustituir el $x$ con un pronumeral diferente $y$ o (como hice yo) un número específico como $0$ . También incluí números específicos a cada lado de $0$ para ayudar a demostrar claramente por qué la desigualdad es estricta.

Answer 2

Gracias por la crítica de @Theo Bendit. Estoy dispuesto a dar una respuesta, pero parece ser un poco largo, así que por favor me permiten iniciar un nuevo post.

Parte 1

Para el primer punto, admito que he omitido algunos detalles en el anterior post, efectivamente. Sin embargo, es fácil añadir una prueba de complemento.

Para cualquier $x_0 \in \mathbb{R}$ según la monotonía de $f(x)$ tenemos $$\forall t>0 :f(x_0)<f(x_0+t).$$

Dejemos que $t \to +\infty$ y tomar los límites de ambos lados. Tenemos $$f(x_0)\leq \lim_{t \to +\infty}f(x_0+t)=l,$$ que muestra que $\forall x_0 \in \mathbb{R}:f(x_0)\leq l$ . Por lo tanto, $l$ es un límite superior de $f(x).$ Además, como $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=l$ entonces $$\forall \varepsilon>0,\exists X>0, \forall x>X:|f(x)-l|<\varepsilon.$$ Así, $$\exists x' \in (X,+\infty):f(x')>l-\varepsilon.$$ Ahora, podemos reclamar eso, $l$ es seguramente el supremum de $f(x)$ . Asimismo, podemos demostrar $l$ es también el ínfimo de $f(x)$ .

Parte 2

En cuanto al segundo punto, puedo estar de acuerdo en que $$\inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)\leq f(x) \leq \sup_{x \in \mathbb{R}} f(x),\tag1$$ si simplemente nos fijamos en la propiedad del límite. Pero, teniendo en cuenta la monotonicidad, podemos mejorar la conclusión, es decir, anular la marca de igualdad.

En realidad, la igualdad dentro de $(1)$ no puede sostenerse en absoluto. Eso es porque, si $\exists x''\in \mathbb{R}:f(x'')=\sup\limits_{x \in \mathbb{R}}f(x),$ entonces $\forall \xi>0: f(x''+\xi)>f(x'')=\sup\limits_{x \in \mathbb{R}}f(x)$ , lo que se contradice.