Resuelve el sistema de ecuaciones en el conjunto de números reales.

Question

Resuelve el sistema de ecuaciones en el conjunto de números reales:
$$ \begin{cases} \frac1x + \frac1{y+z} = \frac13 \\ \frac1y + \frac1{x+z} = \frac15 \\ \frac1z + \frac1{x+y} = \frac17 \end {cases} $$

Tengo:

$$ \begin{cases} 3(x+y+z)=x(y+z) \\ 5(x+y+z)=y(x+z) \\ 7(x+y+z)=z(x+y) \end {cases} $$

Sin embargo, no importa cómo continúe desde aquí, siempre obtengo $x=y=z=0$ , lo cual no puede ser cierto; o obtengo un nuevo sistema de ecuaciones, pero aún con 3 variables (que no puedo resolver).

¿Cómo puedo resolver este problema o cómo debo abordarlo?

Answer 1

Deje $x+y+z=m$

La adición de todas las ecuaciones, obtenemos,

$xy+yz+zx=\frac{3m+5m+7m}{2}=\frac{15m}{2}$

Restando cada ecuación uno por uno a partir de esto, nos,

$xy=\frac{m}{2}$

$yz=\frac{9m}{2}$

$zx=\frac{5m}{2}$

Dividiendo por $ xyz$, obtenemos, $$\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z}=9:5:1$$ $$\Longrightarrow x:y:z=\frac{1}{9}:\frac{1}{5}:\frac{1}{1}$$ $$\Longrightarrow x:y:z=5:9:45$$ Ahora, vamos a $x=5k, y=9k, z=45k$ y obtener el resultado.

Espero que sea útil

Answer 2

Sabemos que a través de sus ecuaciones, $$\frac{15}2(x+y+z)=xy+yz+xz$$Hence, $$xy=\frac12(x+y+z)$$$$yz=\frac92(x+y+z)$$$$xz=\frac52(x+y+z)$$So, assuming $ x + y + z \ neq0$, $ z = 9x$, $ z = 5y $ . Intenta usar esto para avanzar!