La cuadratura no es una operación de inyección, ¿por qué se permite?

Question

Tengo problemas con la cuadratura, muchos estudiantes lo hacen especialmente cuando tienen que resolver cosas como $\sqrt x$, pero no sé por qué. Tal vez sea un ejemplo tonto, pero asumamos $-2=2 $ si I $(..)^2$ tendría $4=4$, lo que no sería una contradicción

Answer 1

El hecho de que una operación no es inyectiva es una buena razón para tener cuidado cuando se utiliza, pero no hay necesidad para evitar esto.

Como un simple ejemplo, vamos a resolver $$\sqrt x = x-1$$

Cuadratura (no inyectiva) vemos que cualquier solución que satisfaga $$x=x^2-2x+1\quad \implies\quad x^2-3x+1=0$$

Por lo tanto nuestra solución(s) debe ser entre $$\frac {3\pm \sqrt 5}2$$

La comprobación de los espectáculos que $x=\frac {3+ \sqrt 5}2$ resuelve el problema que nos interesaba, mientras que $\frac {3- \sqrt 5}2$ no. Ese valor es una solución similar a la ecuación de $$-\sqrt x=x-1$$ De curso, ajustando eliminado la diferencia entre estas dos ecuaciones.

Por lo tanto, el cuadrado de la ecuación original condujo rápidamente a una solución, pero había que tener cuidado para quitar un extraño "solución", que se genera en el proceso.

Answer 2

Su ejemplo no es tan tonto como usted sugiere, es un buen ejemplo del principio de la explosión, la cual establece que a partir de una contradicción puede derivar de lo que quiera (de ahí su nombre en latín, ex falso sequitur quodlibet).

Poner más formalmente, si $p$ e $q$ son proposiciones y $p$ es falso, entonces la implicación $p \Rightarrow q$ es cierto independientemente de si $q$ es verdadera o falsa.

Esto significa que si usted hace una falsa suposición $p$, tales como la suposición de que $-2=2$, entonces se puede derivar tanto verdaderas consecuencias (como $4=4$, obtiene elevando al cuadrado ambos lados) y consecuencias falsas (como $0=4$, obtenido mediante la adición de $2$ a ambos lados).

Esta es una buena ilustración de que usted no puede probar que una proposición $p$ es verdadera, asumiendo que es cierto y que derivan de algo que es cierto-esto es un error común entre los principiantes en la prueba matemática.

Esto se presenta mucho en la resolución de las ecuaciones, ya que se asume que la ecuación tiene y se derivan de sus soluciones-esto dice que si tal y tal ecuación tiene una solución $x$, a continuación, $x = $ este, ese o el otro. Pero esto no prueba que si $x=$ este, ese o el otro, a continuación, $x$ es una solución de la ecuación. Conectar el $x$es nuevo y verificar la ecuación tiene (o no) es lo que le da a la inversa implicación. Esto se ilustra en lulu respuesta.

Answer 3

Tenga en cuenta que, en general, aceptan la notación tenemos que: $$\sqrt {m^2}=|m|$$

Voy a tomar lulu respuesta como un ejemplo para demostrar esto. En primer lugar tenemos:

$$\sqrt x=x-1$$ Nos cuadrado para llegar: $$x=(x-1)^2$$ Pero si ahora nos raíz cuadrada de nuevo, tenemos: $$\sqrt x =|x-1|$$

Tenga en cuenta que $$|x-1| = \begin{cases} x-1, & x\ge1 \\ 1-x, & x<1 \end{casos}$$ and we note that any solutions to $x=(x-1)^2$ with $x<1$ no cuentan para nuestra ecuación.

La solución lulu excluidos se $\frac{3-\sqrt5}{2}\approx 0.38$ y así vemos por qué no encaja.

Así, mientras que el cuadrado trae en falsas soluciones, son fáciles de detectar y eliminar.

Answer 4

$\require{cancel}$Estrictamente hablando, estás en lo correcto de que la falta de infectividad de la $(\cdot)^2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ función significa que no puede ser utilizado para el estilo de la prueba que se encuentran comúnmente en los conjuntos de problemas donde se escribe la secuencia de las igualdades hasta obtener una trivial. Funciones como $(\cdot)^2$ son potencialmente utilizables si usted tiene otros conocimientos acerca de sus argumentos. Por ejemplo, si el argumento no es positivo o negativo, $(\cdot)^2$ es inyectiva.

Si usted tiene una ecuación con una incógnita, a continuación, aplicar una función inyectiva a ambos lados no introducir cualquier tipo de soluciones espurias.

$$ x + 7 = -2 \tag{1} $$

la aplicación de $- 7$ a ambos lados nos da:

$$ x = -5 \tag{2} $$

Equivalentemente, si comenzamos con un $\ne$ la desigualdad, una función inyectiva $(+5)$ va a conservar la verdad de esa afirmación.

$$ 2 \ne 4 \tag{3} $$ $$ 7 \ne 9 \tag{4} $$

Sin embargo, si aplicamos un no inyectiva función como $f(z)=z^2$, las desigualdades no son necesariamente conserva.

$$ -2 \ne 2 \tag{5} $$ $$ \xcancel{4 \ne 4} \tag{6} $$

Este es tal vez más fácil de ver si se aplica la constante de la función cero $0$ a ambos lados.

$$ 7 \ne 302 \tag{7} $$ $$ \xcancel{0 \ne 0} \tag{8} $$