¿Cuándo es un espacio de vector topológico "producto interno"?

Question

Este es un seguimiento a mi pregunta aquí. Un espacio vectorial topológico es normable, es decir, su topología inducida por alguna norma en el espacio vectorial, si y sólo si es Hausdorff y la $0$ vector tiene una limitada convexo barrio. Mi pregunta es, ¿bajo qué circunstancias es un espacio vectorial topológico "producto interior-poder", es decir, cuando es su topología inducida por algún producto interior en el espacio vectorial?

Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que preguntar bajo qué circunstancias una norma es inducida por algunas interior del producto. La respuesta a esa pregunta es cuando la norma obedece a la ley del paralelogramo. Pero podríamos tener una situación en la que la topología inducida por múltiples normas, que no es inducida por cualquier producto interior y otro que es inducida por algunas interior del producto. En cualquier caso, otra forma de frase, mi pregunta es, ¿bajo qué circunstancias es una determinada norma equivalente a alguna norma obedecer la ley del paralelogramo?

Answer 1

En su disertación (Caracterización topológica de un espacio de producto interno), Howard Lambert demuestra lo siguiente:

Teorema 12 Sea $X$ un espacio lineal topológico tal que exista una base de Hamel $H$ con la propiedad que establece \begin{equation} C = \left\{x : x=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i, x_i\in H ,\sum_{i=1}^n |\alpha_i|^2<1,n \text{ arbitrary} \right\} \end {equation}
está abierto y acotado, entonces $X$ es de producción interna.