Resolución de $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^8+1}dx$ a través de Glasser ' s maestro Teorema

Question

Tratando de encontrar una manera de resolver las $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^8+1}dx$$ a través de Glasser Maestro del Teorema, más específicamente la de Cauchy–Schlömilch de sustitución. Preferiblemente, estoy buscando la forma cerrada de la solución, y ya soy consciente de cómo lograr esto a través de contorno de integración.

Solución: $$\frac{\pi}{4\sin(\frac{\pi}{8})}$$ Enlace a general de la forma cerrada de solución: soluciones a $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^n+1}dx$ incluso $n$

Answer 1

No sé lo que es GMT. Lo he buscado en Wikipedia y dice $u = x - 1/x$ como Cauchy–Schlömilch de sustitución. Aquí está mi solución que se divide la integral en 4 integrales, cada uno de ellos utiliza $u = x - 1/x$. Me gusto lo de eliminar la respuesta, si es inútil o mal :)

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$$\int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{1}{1+ x^8} dx = -\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}\int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{x^2 - \sqrt{2}}{x^4 - \sqrt 2 x^2 + 1} + \dfrac{1}{2 \sqrt{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\dfrac{x^2 + \sqrt{2}}{x^4 + \sqrt2 x^2 + 1} \\= -\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}\int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{x^2 + 1}{x^4 - \sqrt 2 x^2 + 1} +\dfrac{\sqrt{2} +1}{2 \sqrt{2}} \int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{1}{x^4 - \sqrt 2 x^2 + 1} \\+ \dfrac{1}{2 \sqrt{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\dfrac{x^2 + 1 }{x^4 + \sqrt2 x^2 + 1}+\dfrac{\sqrt2 -1}{2 \sqrt{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\dfrac{1}{x^4 + \sqrt2 x^2 + 1} $$

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$$\int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{x^2 + 1}{x^4 - \sqrt 2 x^2 + 1} = \int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{1 + 1/x^2}{ (x -1/x)^2 + 2 - \sqrt 2}$$

$u = x - 1/x, du = 1 + 1/x^2$

$$\int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{1}{u^2 + (2 - \sqrt 2 )} du $$

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$$J = \int^{\infty}_{-\infty} \dfrac{1}{x^4 - \sqrt 2 x^2 + 1} = 2 \int^{\infty}_{0} \dfrac{1}{x^4 - \sqrt 2 x^2 + 1}$$

$x = 1/t, dx = -1/t^2 dt$

$$J = 2 \int^{\infty}_{0} \dfrac{t^2}{t^4 - \sqrt 2 t^2 + 1} dt$$

Sumando las dos ecuaciones, $$J = \int^{\infty}_{0} \dfrac{t^2 + 1}{t^4 - \sqrt 2 t^2 + 1} dt$$

Esto se puede resolver con $ u = t - 1/t$ igual que en la anterior ecuación.

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$$\int^{\infty}_{-\infty}\dfrac{x^2 + 1 }{x^4 + \sqrt2 x^2 + 1} = \int^{\infty}_{-\infty}\dfrac{1 + 1/x^2 }{(x - 1/x)^2 + \sqrt2 + 2}$$

Similar a la primera integral, ahora.

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$$I = \int^{\infty}_{-\infty}\dfrac{1}{x^4 + \sqrt2 x^2 + 1} = 2\int^{\infty}_{0}\dfrac{1}{x^4 + \sqrt2 x^2 + 1}$$

$x = 1/t, dx = -1/t^2 dt$

$$ I = \int^{\infty}_{0}\dfrac{t^2 + 1}{t^4 + \sqrt2 t^2 + 1} dt $$

Puede ser resuelto con $u = t - 1/t$ igual que otras integrales de aquí.

Answer 2

Creo que el camino más directo para la lucha contra las integrales es explotar la función Beta de Euler y la reflexión de la fórmula para la $\Gamma$ función: asumiendo $m>1$,

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^m}\stackrel{\frac{1}{1+x^m}\to u}{=}\frac{1}{m}\int_{0}^{1}u^{-\frac{m-1}{m}}(1-u)^{-\frac{1}{m}}\,du =\frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{m}\right)\Gamma\left(\tfrac{m-1}{m}\right)}{m\,\Gamma(1)}=\frac{\pi/m}{\sin(\pi/m)}.$$ Otro, la explotación de la reflexión de la fórmula para la función digamma, en la forma $$ \sum_{n\geq 0}\left[\frac{1}{an+b}+\frac{1}{an+(a-b)}\right]=\frac{\pi}{a}\,\cot\left(\frac{\pi b}{a}\right)$$ a través de $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^m}&=&\int_{0}^{1}\frac{1+x^{m-2}}{1+x^m}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1+x^{m-2}-x^m-x^{2m-2}}{1-x^{2m}}\,dx\\ &=& \sum_{n\geq 0}\left[\color{blue}{\frac{1}{2mn+1}}+\color{red}{\frac{1}{2mn+m-1}}-\color{red}{\frac{1}{2mn+m+1}}-\color{blue}{\frac{1}{2mn+2m-1}}\right]\\&=&\frac{\pi}{2m}\left[\cot\left(\frac{\pi}{2m}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{2m}\right)\right].\end{eqnarray*}$$ A través de Glasser maestro del teorema, en el $m=8$ caso podríamos estado

$$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^8}&\stackrel{x\mapsto z\cdot 2^{1/4}}{=}&\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dz}{(1-\sqrt{2}z^2+z^4)(1+\sqrt{2}z^2+z^4)} \\&=&2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2\sqrt{2}z^2}\left[\frac{1}{1-\sqrt{2}z^2+z^4}-\frac{1}{1+\sqrt{2}z^2+z^4}\right]\,dz \\&\stackrel{z\mapsto 1/z}{=}&2\int_{0}^{+\infty}\frac{z^4}{2\sqrt{2}}\left[\frac{1}{1-\sqrt{2}z^2+z^4}-\frac{1}{1+\sqrt{2}z^2+z^4}\right]\,dz \\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{z^4}\left[\frac{1}{\frac{1}{z^2}-\sqrt{2}+z^2}-\frac{1}{\frac{1}{z^2}+\sqrt{2}+z^2}\right]\,dz \\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{+\infty}z^2\left[\frac{1}{\frac{1}{z^2}-\sqrt{2}+z^2}-\frac{1}{\frac{1}{z^2}+\sqrt{2}+z^2}\right]\,dz\end{eqnarray*}$$ a continuación, invocar integración por partes y con un promedio de fin de convertir la integral original en $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{+\infty}r\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\,dx &=& \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}r\left(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\right)\,dx\\&\stackrel{\text{GMT}}{=}&\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}r(x^2+2)\,dx=\int_{0}^{+\infty}r(x^2+2)\,dx\end{eqnarray*}$$ con $r$ ser una función racional. Por otro lado, este enfoque se ve muy forzado y artificial, especialmente si se compara con los anteriores.

Answer 3

NO ES UNA SOLUCIÓN:

En caso de que usted está interesado en otro "real" basada en el método para resolver este hecho publicado una pregunta sobre este asunto (con mi solución) de ayer.

En términos de Glasser Maestro del Teorema (GMT), no estoy seguro de que puede ser colocado de esa manera para ser honesto... o mejor dicho que se requeriría de algunos muy cuidadoso (y algebraicamente extenso) de trabajo para ceder el paso en la forma deseada. En diciendo esto, yo podría estar equivocado en eso.

Han considerado que la partida con un formulario que es GMT compatible (con parámetros libres) y tratando de resolver? He probado con un par de formularios y fue incapaz de producir una solución.

En términos de cumplimiento de las formas, traté de 'ingeniería inversa' el resultado, así que empecé con las siguientes expresiones y trató de resolver la incógnita constantes:

\begin{equation} \frac{1}{x^8 + 1} = \left[\left(x - \frac{b_1}{x - c_1}\right)^4 + d_1 \right]^{-1} \end{equation} Esto no funcionó, así que he intentado: \begin{equation} \frac{1}{x^2 + 1} = \left[\left(x - \frac{b_1}{x - c_1} - \frac{b_2}{x - c_2}\right)^4 + d_1 \right]^{-1} \end{equation}

He intentado un par de los demás, pero este fue el método empleado. Como antes, no tuvo éxito para mí y lo he intentado de diferentes maneras. La vergüenza que parece tan cerca de ser GMT aplicables.