Este problema proviene de un examen de matemáticas que ya he completado. Voy a dar el problema y mi intento de solución.
Parte A : Dado un $3\times3\times3$ cubo $C$ que contiene $28$ puntos. Demostrar que algún par de puntos está dentro de $\sqrt{3}$ entre sí.
Parte B : Describa una distribución de $27$ puntos en $C$ tal que cada punto es más que $\sqrt{3}$ de cada uno de los puntos.
La parte A era sencilla: Empezar por dividir $C$ en $27\;1\times1\times1$ cubos. Imagina un cubo de Rubik:
Entonces, por el principio de encasillamiento, un cubo pequeño debe contener $2$ puntos. La distancia entre estos dos puntos es como máximo $\sqrt{3}$ (ya que la mayor distancia euclidiana en el cubo pequeño es entre vértices opuestos, que es $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ ). Por lo tanto, algún par de puntos está dentro de $\sqrt{3}$ entre sí.
La parte B era menos sencilla. En el examen, afirmé que $14$ es el mayor número de puntos que se pueden empaquetar en $C$ cumpliendo la condición:
Poner un punto en cada uno de los vértices de $C$ para un total de $8$ puntos.
Si dibujas un $3\times3$ cuadrado con círculos de radio $\sqrt{3}$ saliendo de cada vértice, verás que sólo hay una pequeña zona que no está dentro de ningún círculo. Esta región incluye el centro del cuadrado. Esta imagen representa una vista de cualquier cara de $C$ hasta ahora.
A continuación, pon un punto en el centro de cada cara de $C$ para $6$ más puntos. Estos puntos son legales.
Basándonos en nuestro diagrama anterior, cada cara de $C$ no puede contener más puntos. ¿Pero puede el centro mismo? No. La distancia desde el centro de $C$ al centro de cualquiera de sus caras es $1.5$ .
Ahora hemos colocado $14$ puntos. Creo que los colocamos con una estrategia óptima, así que creo que $15$ (y todo lo que sea mayor) es imposible.
Mi intento de la parte B no demuestra rigurosamente que $14$ es el máximo, así que mis preguntas son:
- ¿Es posible esta tarea con $27$ ¿puntos?
- Si es así, ¿cómo?
- Si no es así, ¿cuál es el máximo y cómo puede demostrarlo?
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Antes de que alguien más pierda su tiempo con el mismo argumento que yo intenté: La conjetura de Kepler sólo nos dice que $29$ Los puntos no pueden colocarse en el cubo. Muy lamentablemente apenas no es lo suficientemente bueno.
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Usted puede obtener en el lugar 15 puntos. Mueve cada punto en el centro de cada cara alrededor de $0.634$ a la derecha, por lo que todavía está más lejos que $\sqrt{3}$ de cada borde, pero ahora su distancia al centro es mayor que $\sqrt{3}$ para poder añadir un punto al centro.
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Una idea que dará algún límite es ampliar el cubo añadiendo una cáscara cúbica de espesor $3^{1/2}/2$ , entonces hay que tener en cuenta que el $3^{1/2}/2$ Las bolas de radio alrededor de cada punto serán disjuntas y estarán contenidas en el cubo. Esto no es lo suficientemente bueno para 27, pero teniendo en cuenta la ineficiencia de llenar la cáscara exterior podría ser lo suficientemente bueno.
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@user477805 Tengo problemas con tu construcción. He graficado un cuadrado con vértices en $(0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3)$ y dibujado cuatro círculos de radio $\sqrt{3}$ con centros en cada vértice. El punto que describe (en $(1.5 + 0.634, 1.5)$ ) está apenas dentro de dos de los círculos.