¿Por qué la regla de L'Hôpital de trabajo para las secuencias?

Question

Decir, para el ejemplo clásico, $\frac{\log(n)}{n}$, esta secuencia converge a cero, a partir de la aplicación de la regla de L'Hôpital. ¿Por qué se hace en el discreto ajuste, cuando la regla es sobre diferenciable funciones?

Es porque en el infinito, no importa que nos re-etiquetar la variable discreta, $n$, con una variable continua, $x$, y en lugar de buscar en el límite de $\frac{\log(x)}{x}$?

Pero entonces, ¿qué acerca de los cocientes de las secuencias que se vaya a la forma indeterminada $\frac{0}{0}$? ¿Por qué es ACEPTAR el uso de la regla de L'Hôpital, como $n$ va a cero?

No he encontrado nada en la Wikipedia o de Wolfram sobre la discreta configuración.

Gracias.

Answer 1

Hay un L'Hospital de la regla de secuencias. Si usted tiene una forma indeterminada, entonces:

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{s_n}{t_n}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{s_n-s_{n-1}}{t_n-t_{n-1}}$$

De modo que por tu ejemplo:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln\left(\frac{n}{n-1}\right)}{n-n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\ln\left(\frac{n}{n-1}\right)=0$$

Pero esa no es tu pregunta. Su pregunta es, ¿por qué la gente "diferenciar"? Básicamente porque el caso real cubre el caso discreto.

Recordemos la definición de los límites de lo real y discreto de los casos.

Definición. Una secuencia, $s_n\colon \Bbb{N}\to \Bbb{R},$ converge a$L$$n\to\infty$, escrito $\lim\limits_{n\to\infty} s_n=L$ fib para todos los $\epsilon>0$ hay algo de $N$ tal que para todos los $n\in \Bbb{N}$ con $n>N$, $|s_n-L|<\epsilon$.

Definición. Una función, $f(x) \colon \Bbb{R}\to \Bbb{R}$ converge a$L$$x\to\infty$, escrito $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=L$ fib para todos los $\epsilon>0$ hay algo de $X$ tal que para todos los $x\in \Bbb{R}$ con $x>X$, $|f(x)-L|<\epsilon$.

Así que si $f(x)$ es una función con valores reales que está de acuerdo con una secuencia, $s_n$ en valores enteros, a continuación, $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=L$ implica $\lim\limits_{n\to\infty} s_n=L$.

Answer 2

Su explicación no es muy precisa, no importa si usted utiliza el discreta o continua variable. Sin embargo, hay un teorema en el análisis matemático que indica que el siguiente es equivalente:

• $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = A$
• Para cada secuencia $\{x_n\}$ tal que $\forall n \in \mathbb{N} : x_n \in D(f), x_n \neq c$ y $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = c$ es cierto que $\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = A$.

En palabras más simples, una vez que conocemos el límite de una función en una variable continua, como $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x} = 0$, usted también sabe que el límite de la secuencia se obtiene mediante la "selección" de los puntos de esta función del dominio, en su caso específicamente de tomar la secuencia de $\{x_n\} = \{n\}$. Observe que las condiciones de la segunda declaración se cumplen, ya que $\frac{\log x}{x}$ se define para cada $n$, $\lim_{n \rightarrow \infty} n = \infty$ y $n \neq \infty$ por cada $n$.

Esto también resuelve el problema de los límites de la forma indeterminada "$\frac{0}{0}$", o cualquier otro.

Espero que ayude :),

Epsiloney

Answer 3

Para ello se utiliza el hecho de que si $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L, \text{ then } \lim_{n\to\infty}f(n)=L$ desde

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L\iff$ por cada $\epsilon>0,$ existe un M tal que si $x\ge M,$ $\big|f(x)-L\big|<\epsilon$ y

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=L\iff$ por cada $\epsilon>0,$ existe un N tal que si $n\ge N,$ $\big|f(n)-L\big|<\epsilon$ $\;\;$(con $n\in\mathbb{N}$)

Answer 4

Hecho: Si una función $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es continua, $x_n\to x$ $f(x_n)\to f(x)$.

Answer 5

Usted puede ver aquí Stolz–Cesàro teorema de l'Hôpital de la regla" para las secuencias.