¿Cada subgrupo de índice finito contiene una potencia de cada elemento del grupo?

Question

Deje $G$ ser un grupo, no necesariamente finita. Si $H$ es un subgrupo normal de $G$ de un determinado índice, decir $(G:H)=n$, entonces para cada a$g\in G$ tenemos $g^n\in H$. Hace esta declaración siguen siendo válidos si no suponga $H$ a ser normal?

En particular, vamos a $SL_2(\mathbb Z)$ ser modular grupo y deje $\Gamma\subset SL_2(\mathbb Z)$ ser un subgrupo de un determinado índice. ¿Existe un entero positivo $\ell$ tal que $\begin{pmatrix}1&1\\0 & 1\end{pmatrix}^\ell$ se encuentra en $\Gamma$?

Answer 1

Sí.

El conjunto de <span class="math-container">${ H, gH, g^2H, \dots , g^nH }$</span> tiene elementos de <span class="math-container">$n+1$</span> , para que dos de ellos son iguales ( <span class="math-container">$H$</span> tiene cojunto adecuado sólo <span class="math-container">$n$</span> ).

De <span class="math-container">$$g^aH=g^bH</span> sigue que <span class="math-container">$g^{a-b} \in H$</span>.

Answer 2

Para otra prueba (a pesar de que sólo responde al título de la $n$ obtenemos no es $[G:H]$)

Deje $H$ ser finito índice de subgrupo. A continuación, $G$ actúa en $G/H$ por la izquierda de la traducción, y así tenemos una morfismos $\rho : G\to \mathfrak{S}G/H$.

Su kernel $K$ está contenido en $H$ : de hecho si $x\in K$, a continuación, $H= \rho(x)(H)= xH$, lo $x\in H$. Por otra parte, $K$ es normal (es un kernel !), y ha finito índice en $G$ (debido a $G/K\simeq \mathrm{Im}\rho \subset \mathfrak{S}G/H\simeq \mathfrak{S}_{|G/H|}$).

Por lo tanto si $x\in G, x^n\in K$ para algunos $n$, lo $x^n\in H$ para algunos $n$. Nota, sin embargo, que $n$ no es necesariamente $[G:H]$; y la prueba me dio sólo da la enlazado $[G:H]!$ para $n=[G:K]$.