¿Hay una falla en el ejercicio 9.3.1 b) del Análisis por Zorich? El ejercicio solicita probar que un subconjunto de un espacio métrico es compacto si y solo si está totalmente delimitado y cerrado. Pero tengo un contraejemplo para ello: considere la bola unitaria abierta $B(0,1)$ en $\mathbb{R}^n$ como un espacio métrico en sí mismo. Entonces está cerrado en sí mismo y totalmente acotado, pero no compacto.
Estoy en lo cierto
Estás en lo correcto.
Para un subconjunto $A$ de espacio métrico $(X,d)$ para ser compacto, no es suficiente con que $A$ es totalmente acotado y cerrado (desde $X$ está siempre cerrada). Sin embargo, la correcta supuestos a la conclusión de que la $A$ es compacto, se que es totalmente acotado y completa. Usted puede seguir el enlace que he incluido en mi anterior respuesta a una pregunta similar para ver que la prueba de este hecho.
$B(0,1)$ es cerrado en el espacio de $B(0,1)$ dotado de la topología de subespacio de $\mathbb{R}^n$. Pero esto es cierto para cada $S \subset \mathbb{R}^n$ si queremos dotar a $S$ con la topología de subespacio.
El requisito es que el conjunto es cerrado en $\mathbb{R}^n$, no en sí mismo.
Por otra parte, en un genérico tolopogical espacio X, dado $A \subset X$, la equivalencia "$A$ es compacto si y sólo si es cerrado y totalmente acotado" es correcto en el caso de que el espacio ambiental $X$ es completa. En este caso, cada subespacio cerrado de $X$ también está completo.
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