¿Qué grupo finito no abeliano es generado por$\operatorname{diag}(1,w,w^2,\ldots,w^{N-1})$ (con$w=e^{2\pi i/N}$) y una matriz de permutación cíclica?

Question

¿Cuál es el finito nonabelian grupo? generados por los siguientes elementos y satifies las reglas:

1. $$A=\left(\begin{array}{ccccc} 1&0&0&\cdots&0\\ 0&\omega&0&\cdots&0\\ 0&0&\omega^2&\cdots &0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\omega^{N-1} \end{array}\right)$$ where $\omega^{N}=1$ and $\omega = e^{2\pi i/N}$.

2. $$B=\left(\begin{array}{ccccc} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots &\vdots & \ddots &\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 1&0&0&\cdots&0 \end{array}\right)$$

3. $$AB=\omega \;BA$$ (or $AB=\omega^{-1} \;BA$)

Parece que este nonabelian grupo tiene una orden de $N^3$ al menos. Porque $$ A^N=B^N=\omega^N=1, $$ y todos los elementos de estos son distintos.

Cuando $N=2$, la respuesta de este nonabelian grupo parece ser una cuádrupla grupo de orden $2^3=8$.

Answer 1

El grupo $G = \langle A,B \rangle$ generado por $A$ e $B$ tiene orden de $N^3$ para todos los $N>1$.

Hay $N$ catalog_number $A_i = A^{B^i}$ $(0 \le i < N)$ de $A$ bajo los poderes de $B$, pero $A_iA_{i-1}^{-1} = \omega I_n$, por lo que el $A_i$ generar el grupo $N = \langle A,\omega I_n \rangle$, que tiene orden de $N^2$. A continuación, $N \lhd G$ e $G/N$ es generado por la imagen de la $BN$ de $B$ y es cíclico de orden $N$.

Este es un nilpotent grupo de clase $2$ con $Z(G) = [G,G] = \langle \omega I_n \rangle$.