Buscar el valor de

Question

<blockquote> <p>Encuentra el valor de esto:<span class="math-container">%#% $ #%</span></p> </blockquote> <p>Prueba: Podemos escribir la serie anterior como</p> <p><span class="math-container">$$1-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{15}+\frac{1}{17}-\frac{1}{23}+\frac{1}{25}....$$</span></p> <p><span class="math-container">$${S} = \int^{1}_{0}\bigg[1-x^6+x^8-x^{14}+x^{16}-x^{22}+\cdots\bigg]dx$$</span></p> <p>Así <span class="math-container">$$S = \int^{1}_{0}(1-x^6)\bigg[1+x^{8}+x^{16}+\cdots \cdots \bigg]dx$ $</span></p> <p>Ahora me llama la atención en que la integración.</p> <p>No entendía cómo solucionarlo</p> <p>alguno me podria ayudar a solucionarlo. Gracias de antemano</p>

Answer 1

Sugerencia: Observe que <span class="math-container">$$\frac{x^4+x^2+1}{(x^2+1)(x^4+1)}=\frac{1}{4}\frac{1}{x^2+x\sqrt{2}+1}+\frac{1}{4}\frac{1}{x^2-x\sqrt{2}+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+1}$ $</span> ahora solo tenemos que evaluar las integrales <span class="math-container">$$I_1=\frac{1}{4}\int_0^1 \frac{dx}{x^2+x\sqrt{2}+1}$de % $</span> <span class="math-container">$$I_2=\frac{1}{4}\int_0^1 \frac{dx}{x^2-x\sqrt{2}+1}$ $</span> <span class="math-container">$$I_3=\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$ $</span> y su suma es <span class="math-container">$I_1+I_2+I_3$</span>. ¿Puede evaluar estas?

Answer 2

Otro enfoque, que podría ser útil para comprobar la suya a través de las integrales, es la misma como por el puesto similar, utilizando la función Digamma $\psi (z)$. $$ \eqalign{ & 1 - {1 \over {8 - 1}} + {1 \más {8 + 1}} - {1 \más de {2 \cdot 8 - 1}} + {1 \over {2 \cdot 8 + 1}} + \cdots = \cr Y = 1 - \sum\limits_{1\, \le \,n} {{1 \over {8n - 1}}} + \sum\limits_{1\, \le \,n} {{1 \over {8n + 1}}} = \cr Y = 1 - {1 \over 8}\left( {\sum\limits_{1\, \le \,n} {{1 \over {n - 1/8}}} - \sum\limits_{1\, \le \,n} {{1 \over {n + 1/8}}} } \right) = \cr Y = 1 - {1 \over 8}\left( {\sum\nolimits_{\;n = 7/8}^{\;\infty } {{1 \over n}} - \sum\nolimits_{\;n = 9/8}^{\;\infty } {{1 \over n}} } \right) = \cr Y = 1 - {1 \over 8}\left( {\sum\nolimits_{\;n = 7/8}^{\;9/8} {{1 \sobre n}} } \right) = \cr Y = 1 - {1 \over 8}\left( {\psi (9/8) - \psi (7/8)} \right) = \cr Y = 1 - {1 \over 8}\left( {\psi \left( {1 + 1/8} \right) - \psi \left( {1 - 1/8} \right)} \right) = \cr Y = 1 - {1 \over 8}\left( {{1 \over {1/8}} + \psi \left( {1/8} \right) - \psi \left( {1 - 1/8} \right)} \right) = \cr Y = {1 \over 8}\left( {\psi \left( {1 - 1/8} \right) - \psi \left( {1/8} \right)} \right) = \cr Y = {1 \over 8}\left( {\pi \cuna \left( {{\pi \más de 8}} \right)} \right) = \cr y = {{\pi \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \más de 8} \cr} $$ donde:

$$ \Delta _{\,z} \psi \left( z \right) = \psi \left( {z + 1} \right) - \psi \left( z \right) = {1 \over z} $$ es el funcional de la ecuación de la Digamma;
lo que implica que Digamma es el Antidelta de $1/z$ $$ \eqalign{ & \psi \left( z \right) = \Delta _{\,z} ^{ - 1} \left( {{1 \over z}} \right) = \sum\nolimits_z {{1 \over z}} \quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \sum\nolimits_{\;z = a}^{\;b} {{1 \over z}} = \psi \left( b \right) - \psi \left (\right) \cr} $$ y hemos utilizado la Reflexión fórmula para Digamma $$ \psi \left( {1 - z} \right) = \psi \left( z \right) + \pi \cuna \left( {\pi z} \right) $$

Ahora, lo anterior, sugiere una manera de resolver la integral.

Vamos a sustituir $x^8$ con $y$ $$ \int_{x = 0}^{\,1} {{{1 - x^{\,6} } \over {1 - x^{\,8} }}dx} \quad \mathop = \límites^{x^{\,8} = y} \quad {1 \over 8}\int_{y = 0}^{\,1} {{{1 - y^{\,3/4} } \over {\left( {1 - y} \right)^{\, 7/8} }}dy} $$ a continuación, tenga en cuenta que hemos $$ \eqalign{ & {{1 - y^{\,3/4} } \over {\left( {1 - y} \right)y^{\,7/8} }} = \cr & = \left( {\left( {1 - y} \right)^{ - 1} y^{\, - 7/8} - \left( {1 - y} \right)^{ - 1} y^{\, - 1/8} } \right) \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \left( {\left( {1 - y} \right)^{\varepsilon - 1} y^{\,1/8 - 1} - \left( {1 - y} \right)^{\varepsilon - 1} y^{\,\,7/8 - 1} } \right) \cr} $$ así que estamos listos para el uso de la integral y Gamma representación de la función Beta $$ \eqalign{ & 8 \;\int_{x = 0}^{\,1} {{{1 - x^{\,6} } \over {1 - x^{\,8} }}dx} = \int_{y = 0}^{\,1} {{{1 - y^{\,3/4} } \over {\left( {1 - y} \right)^{\, 7/8} }}dy} = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \left( {\int_{y = 0}^{\,1} {\a la izquierda( {1 - y} \right)^{\varepsilon - 1} y^{\,1/8 - 1} dy} - \int_{y = 0}^{\,1} {\a la izquierda( {1 - y} \right)^{\varepsilon - 1} y^{\,\,7/8 - 1} dy} } \right) = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \left( {{\rm B}\left( {1/8,\varepsilon } \right) - {\rm B}\left( {7/8,\varepsilon } \right)} \right) = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \left( {{{\Gamma \left( {1/8} \right)\Gamma \left( \varepsilon \right)} \over {\Gamma \left( {1/8 + \varepsilon } \right)}} - {{\Gamma \left( {7/8} \right)\Gamma \left( \varepsilon \right)} \over {\Gamma \left( {7/8 + \varepsilon } \right)}}} \right) = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \left( {{{\Gamma \left( {1/8} \right)\Gamma \left( \varepsilon \right)} \over {\psi \left( {1/8} \right)\varepsilon \;\Gamma \left( {1/8} \right) + \Gamma \left( {1/8} \right)}} - {{\Gamma \left( {7/8} \right)\Gamma \left( \varepsilon \right)} \over {\psi \left( {7/8} \right)\varepsilon \;\Gamma \left( {7/8} \right) + \Gamma \left( {7/8} \right)}}} \right) = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \left( {{{\Gamma \left( \varepsilon \right)} \over {\psi \left( {1/8} \right)\varepsilon \; + 1}} - {{\Gamma \left( \varepsilon \right)} \over {\psi \left( {7/8} \right)\varepsilon \; + 1}}} \right) = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \Gamma \left( \varepsilon \right)\left( {\left( {1 - \psi \left( {1/8} \right)\varepsilon \;} \right) - \left( {1 - \psi \left( {7/8} \right)\varepsilon \;} \right)} \right) = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \varepsilon \,\Gamma \left( \varepsilon \right)\left( {\psi \left( {7/8} \right) - \psi \left( {1/8} \right)} \right) = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \, \\, 0} \,\Gamma \left( {1 + \varepsilon } \right)\left( {\psi \left( {7/8} \right) - \psi \left( {1/8} \right)} \right) = \cr & = \psi \left( {7/8} \right) - \psi \left( {1/8} \right) \cr} $$ que es el mismo resultado que el anterior.

Permítanme añadir una más recta derivación de la anterior.

Podemos reescribir el integrando como $$ \eqalign{ & {{1 - y^{\,3/4} } \over {\left( {1 - y} \right)y^{\,7/8} }} = {{y^{\, - 7/8} - y^{\, - 1/8} } \over {\left( {1 - y} \right)}} = \cr Y = {{1 - y^{\, - 1/8} - \left( {1 - y^{\, - 7/8} } \right)} \over {\left( {1 - y} \right)}} \cr} $$ y comparar con la representación integral de la Digamma $$ \psi (s + 1) = - \gamma + \int_0^1 {{{1 - x^{\,s} } \over {1 - x}}dx} $$

Answer 3

El integral es tedioso. Les, Sophie Germain, que <span class="math-container">$x^4+1=(x^2+\sqrt 2 x+1)(x^2-\sqrt 2 x+1)$</span>. Ahora, la fracción parcial y arctan da indefinido <span class="math-container">$\frac{1}{4}\left(2\tan^{-1}x+\sqrt{2}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{2}x+1\right)-\tan^{-1}\left(1-\sqrt{2}x\right)\right)\right)$</span>

Answer 4

Consejo: su fracción es <span class="math-container">$(x^2+1)^{-1}+\frac{x^2}{x^4+1}$</span>y <span class="math-container">$\frac{x^2}{x^4+1}=\frac{ax+b}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{-ax-b}{x^2+\sqrt{2}x+1}$</span> <span class="math-container">$a,b$</span>los números reales.