Funciones con$\mathrm s(x)^n+ \mathrm c(x)^n \equiv 1$

Question

Me encontré con un muy buen PASO de pregunta - Q8, PASO 1, 2018.

Se supone la existencia de la función de $\mathrm s(x)$ e $\mathrm c(x)$ con las propiedades que $\mathrm s(0)=0$, $\mathrm c(0)=1$, $\mathrm s'(x) = \mathrm c(x)^2$ e $\mathrm c'(x)=-\mathrm s(x)^2$.

Esto nos lleva de inmediato a los familiares de las fórmulas como $\mathrm s(x)^3+\mathrm c(x)^3 \equiv 1$.

Estas hipotéticas funciones pueden utilizarse, por ejemplo, para mostrar que $$ \int \frac{\mathrm du}{(1-u^3)^{4/3}} = \frac{u}{(1-u^3)^{1/3}}+K$$

Estas hipotéticas funciones también pueden ser utilizados, por ejemplo, para mostrar que $$\int (1-u^3)^{1/3}~\mathrm du = \frac{1}{2}\mathrm s^{-1}(u)+\frac{1}{2}u(1-u^3)^{1/3} + K$$

Tengo un par de preguntas:

• Son sus nombres para estas funciones $\mathrm s$ e $\mathrm c$?

• ¿Cómo podemos demostrar la existencia y la continuidad/la diferenciabilidad de las funciones?

• Son su función con $\mathrm s'(x) = \mathrm c(x)^{n-1}$, $\mathrm c'(x) = -\mathrm s(x)^{n-1}$

• ¿Tienen nombres?

• Cuán eficaz puede ser que postulan la existencia de una hipotética funciones que ayudan a simplificar la integración?

Answer 1

Para cualquier $1 \le n \in \Bbb N$ existe un par de funciones con valores de $s_n(x)$, $c_n(x)$ en un intervalo abierto $I \subset \Bbb R$, $0 \in I$, que satisfacen

$s_n'(x) = c_n^{n - 1}(x), \tag 1$

$c_n'(x) = -s_n^{n - 1}(x), \tag 2$

$s_n(0) = 0, \; c_n(0) = 1; \tag 3$

antes de la demostración de la existencia de un par para cualquier $n \in \Bbb N$, se observa que (1) y (2) implica

$(s_n^n(x) + c_n^n(x))' = (n - 1)s_n^{n - 1}(x)s_n'(x) + (n - 1) c_n^{n - 1}c_n'(x)$ $= (n - 1)(s_n^{n - 1}c_n^{n - 1} - c_n^{n - 1} s_n^{n - 1}) = 0, \tag 4$

que junto con (3) muestra que $s_n^n(x) + c_n^n(x) = s_n^n(0) + c_n^n(x) = 1, \; x \in I, \tag 5$

que generaliza la conocida fórmula para la celebración ordinaria de funciones trigonométricas $\sin$ e $\cos$,

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1. \tag 6$

A ver que tal las funciones de $s_n(x)$, $c_n(x)$ do, en realidad, consideramos que los planos campos vectoriales $\mathbf G_n(u, v)$ definido por

$\mathbf G_n(u, v) = \begin{pmatrix} v^{n - 1} \\ -u^{n - 1} \end{pmatrix}; \tag 7$

configuración

$\mathbf r = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}, \tag 8$

para cada una de las $n \in \Bbb N$ tenemos la comunidad autónoma de la ecuación diferencial ordinaria

$\dot{\mathbf r} = \begin{pmatrix} \dot u \\ \dot v \end{pmatrix} = \mathbf G_n(u, v) = \begin{pmatrix} v^{n - 1} \\ -u^{n - 1} \end{pmatrix}; \tag 9$

el vector de la función $\mathbf G_n(u, v)$ ocurren en (9) es, en realidad, infinitamente continuamente diferenciable, analítica incluso, y así es en todas partes localmente Lipschitz, y así por el Picard-Lindeloef teorema no hay una única solución local a través de cualquier punto de $(u_0, v_0)$; estas soluciones, por supuesto, ser diferenciable, analítica, incluso, ya que estas propiedades son heredadas por las soluciones a partir de la definición de campo de vectores $\mathbf G_n(u, v)$.

Nos momentáneamente restringir nuestra atención a que la única solución a la $(u_n(t), v_n(t))$ de

$\dot {\mathbf r} = \mathbf G_n(u, v) \tag{10}$

que es inicializado en $x = 0$ a

$u_n(0) = 0, \; v_n(0) = 1; \tag{11}$

vemos por la comparación de (1)-(3) con (9), (11) que la unicidad de soluciones implica

$s_n(x) = u_n(x), \; c_n(x) = v_n(x), \tag{12}$

así que parece que las funciones de $s_n(x)$, $c_n(x)$ son los componentes de la integral de la curva de (10) que se inicializa en el

$\mathbf r(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \tag{13}$

El anterior debate se refiere a la existencia, unicidad y la diferenciabilidad de las propiedades de las funciones $s_n(x)$, $c_n(x)$ para $n \ge 1$.

No estoy realmente seguro de cómo estas funciones se denominan en el mundo de las matemáticas. La mejor cosa que he sido capaz de llegar con Dixon Elíptica Funciones; sin embargo, este término sólo puede técnicamente se refieren al caso $n = 3$; pero tenemos que llamar a estas funciones algo-o-los demás, así que tal vez la ampliación de la terminología a todas las $s_n(x)$, $c_n(x)$ es a propósito.

Tampoco puedo decir mucho acerca de la utilidad de la $s_n(x)$, $c_n(x)$ en el abordaje de la práctica de la evaluación de las integrales, algo en lo que no soy, en cualquier caso, demasiado hábil; así que voy a dejar este tema para aquellos con más experiencia que yo.

Las funciones de $s_n(x)$, $c_n(x)$ , de hecho, tienen muchos involucrar a otras propiedades de las que se mencionan en el texto de la pregunta. Por ejemplo, $\mathbf G_n(u, v)$ es en realidad un campo de vectores Hamiltoniano, como uno podría sospechar sobre la base de nuestra afirmación (4)-(5) $(s_n(x))^n + (c_n(x))^n$ se conserva a lo largo de las trayectorias; en efecto, la fijación

$H_n(u, v) = \dfrac{1}{n}(u^n + v^n), \tag{14}$

tenemos

$\dfrac{\partial H_n}{\partial u} = u^{n - 1}, \tag{15}$

$\dfrac{\partial H_n}{\partial v} = v^{n - 1}; \tag{16}$

entonces

$\mathbf G_n = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial H_n}{\partial v} \\ -\dfrac{\partial H_n}{\partial u} \end{pmatrix}, \tag{17}$

que expresa el campo de vectores $\mathbf G_n(u, v)$ en forma Hamiltoniana. Ahora es fácil ver que las trayectorias del sistema, siendo los conjuntos de nivel de $H_n(u, v)$, son compactas, incluso para $n$; el sistema es una especie de "generalizada oscilador armónico" en este sentido, disponer de órbitas que son simples curvas cerradas de forma simétrica que rodea el origen es un punto crítico. Cuando $n$ es impar, los conjuntos de nivel de $H_n(u, v)$ no son compactos, pero están en su lugar sin límites; la curiosidad de los lectores de mi boceto de la fase de retratos de sí mismos para obtener más información sobre el flujo de $\mathbf G_n$; tomamos nota de que $(0, 0)$ es un punto crítico a menos $n = 1$, en cuyo caso el Hamiltoniano superficies son líneas rectas de la forma

$H_n = u + v, \tag{18}$

y

$\mathbf G_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \tag{19}$

es una constante en el vector de campo; tenemos $s_1(x) + c_1(x) = \text{constant}$, y no hay puntos críticos.

Bien, después de haber presentado una forma bastante exhaustiva invitación a explorar más a fondo estas generalizaciones de $\sin x$ e $\cos x$, yo voy a llamar a la una de la noche.

Answer 2

Estos son los llamados generalizado de las funciones trigonométricas y que incluyen las funciones de preguntar acerca de. En este caso específico, se puede fabricar $s$ e $c$ en un intervalo y, a continuación, extender el uso de la simetría y hacer de ellos periódico para definir con ellos en todos los de $\Bbb R$. Es decir, poner a$$S(x)=\int_0^x (1-u^n)^{-(n-1)/n}\text{d}u$$ Y aviso a$S,S'> 0$ para $x\in(0,1)$ por lo tanto $S$ tiene un diferenciable, positivo inverso $s(x)$, que, por la FTC y la Regla de la Cadena, satisface $s'(x)=(1-s(x)^n)^{(n-1)/n}$. Si definimos $c(x)=s'(x)^{1/(n-1)}$ a continuación se obtienen $s'(x)=c(x)^{n-1}$ e $s(x)^n+c(x)^n=1$ gratis, así como a $c'(x)=-\frac 1n(1-s(x)^n)^{1/n-1}ns(x)^{n-1}s'(x)=-s(x)^{n-1}$.

En cuanto a su eficacia puede ser en la integración no estoy seguro de como puede ser útil en los casos que no soy consciente de. Sin embargo, un ejemplo rápido es reemplazar el $3$ , en el PASO de pregunta con $n$ e las $4$ con $2(n-1)$ y, a continuación, aplicar el mismo método utilizado para resolver el problema original (que sospecho que estaba destinado a ser una generalización de la $\cot'(x)$ fórmula).