Escrito $f(x,y)$ $\Phi(g(x) + h(y))$

Question

Podrías probar o refutar la siguiente declaración?

Vamos $f\colon[0,1]^2\rightarrow \mathbb R$ ser una función continua. Entonces hay funciones continuas $g,\ h\colon [0,1]\rightarrow \mathbb R$ y $\Phi\colon \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $$ f(x,y) = \Phi(g(x) + h(y)).$$

(Este problema que apareció en mi mente mientras yo estaba pensando acerca de esta relacionada con la MO. No podía encontrar una prueba o refutación. Esta versión es mucho más débil que la que se le preguntó en MO, ya que $g$ $h$ dependen de $f$ aquí).

Answer 1

La afirmación no es verdadera.

Para hacer el contraejemplo más simple, voy a tomar la $f:[-1,1]^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Deje que f(x,y)=xy. Así tenemos

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Veamos la imagen de xy=0 en g(x)+h(y). Ya que es un conectada, compacto, la imagen está conectado y compacto, para un intervalo [m,n], con $\Phi([m,n])=0$. Podemos suponer que la $\Phi(n+\epsilon)>0$$\Phi(m-\epsilon)<0$. Vamos a A=g(1), a=g(-1), B=h(1), b=h(-1).

Luego tenemos a $A+B>n, \; a+b>n, \; A+b<m, \; a+B<m$, lo que conduce a una contradicción.

Answer 2

Supongamos $f$ es tal que $f(x,0)$ $f(0,y)$ son monótonas en $x$$y$, respectivamente, en $[0,1]$. Desde $f(x,0) = \Phi(g(x) + h(0))$, debe ser el caso de que $g$ es monótona $[0,1]$. Del mismo modo, $h$ es monótona $[0,1]$. Por lo $g(x) + h(y)$ es la suma de funciones monótonas. No es difícil mostrar que para cualquier $(x,y)$ en el interior de $[0,1]^2$, debe haber un punto en el límite con el mismo valor de $g(x) + h(y)$, y por lo tanto el mismo valor de $\Phi(g(x) + h(y))$. Ya que es fácil construir un continuo $f$ que se cumple la primera suposición, sin embargo, toma un mayor rango de valores en el interior de lo que se hace en el límite (para cualquier $f$ que no lo hace, trate de añadir $M x(1-x)y(1-y)$ de las grandes suficientemente $M$), esto se contradice con la conjetura.