Desigualdad de probabilidades

Question

Si$X$ y$Y$ son (no necesariamente independientes) variables aleatorias que toman valores en$\Omega=\{1,\ldots,n\}$. entonces:

$\sum_{i=1}^nP(X=i,Y=i)\leq1-\frac12\sum_{i=1}^n\mid P(X=i)-P(Y=i)\mid$

Solo estoy seguro al 99.9% de que esta desigualdad es cierta. Espero que alguien pueda probarlo. ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Esta desigualdad se sigue de un argumento de acoplamiento estándar.

Deje que$A$ sea el conjunto de$i\in \Omega$ con$\mathbb{P}(X=i)>\mathbb{P}(Y=i)$ y tenga en cuenta que$${1\over 2}\sum_i |\mathbb{P}(X=i) -\mathbb{P}(Y=i)| =\mathbb{P}(X\in A)-\mathbb{P}(Y\in A).$ $ El lado derecho se puede volver a escribir, y luego se delimita
$$ \ mathbb {P} (X \ en A, X \ neq Y) - \ mathbb {P} (Y \ en A, X \ neq Y) \ leq \ mathbb {P} (X \ neq Y) $$ lo que da su resultado.