Deje $E$ ser un infinito-dimensional espacio de Hilbert complejo, $E\otimes E$ ser el espacio de Hilbert producto tensor y $$\mathcal{L}(E)^+=\left\{A\in \mathcal{L}(E);\,\langle Ax,x\rangle\geq 0,\;\forall\;x\in E\;\right\}.$$
Deje $A,B,C,D\in \mathcal{L}(E)$ $S_1,S_2\in \mathcal{L}(E)^+$ ser distinto de cero operadores que $$(S_1\otimes S_2)[A\otimes C,B\otimes D]=0.$$ Quiero encontrar condiciones suficientes bajo las cuales $S_1[A,B]=S_2[C,D]=0$ es decir $S_1AB=S_1BA$$S_2CD=S_2DC$.
Mi intento: Desde $(S_1\otimes S_2)[A\otimes C,B\otimes D]=0$,$(S_1\otimes S_2)(A\otimes C)(B\otimes D)=(S_1\otimes S_2)(B\otimes D)(A\otimes C)$. Por lo tanto $$S_1AB\otimes S_2CD=S_1BA\otimes S_2DC.$$ Mediante el siguiente resultado:
Lema: Vamos a $A_1, A_2,B_1, B_2\in \mathcal{L}(E)$ ser distinto de cero operadores. Las siguientes condiciones son equivalentes:
$A_1\otimes B_1=A_2\otimes B_2$.
Existe $z\in \mathbb{C}^*$ tal que $A_1 =zA_2$$B_1= z^{-1}B_2$.
Podemos deducir la existencia de $z\in \mathbb{C}^*$ tal que $S_1AB=zS_1BA$$S_2CD=z^{-1}S_2DC$. Cuando llegamos $$z=1?$$
